Tu as sûrement déjà joué aux cartes : bataille, poker, ou simple jeu de famille. Mais savais-tu que les cartes sont un terrain de jeu parfait pour les probabilités ? Au brevet comme au bac, les exercices sur le tirage de cartes sont très fréquents. Dans cet article, on va décortiquer ensemble la probabilité cartes avec un jeu de 52 cartes, des définitions simples aux méthodes avancées. Prêt à devenir un as ?
Le jeu de 52 cartes : un univers bien défini
Avant de calculer la moindre probabilité, il faut connaître parfaitement l'univers. Un jeu de 52 cartes est composé de :
- 4 couleurs : cœur (♥), carreau (♦), trèfle (♣) et pique (♠).
- 13 valeurs par couleur : As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi.
- Total : 4 × 13 = 52 cartes.
Il y a donc 4 as (un par couleur), 12 figures (Valet, Dame, Roi) et 26 cartes rouges (cœur et carreau) et 26 cartes noires (trèfle et pique). Ces informations sont la base pour tout calcul.
Pourquoi les cartes sont idéales pour les probabilités ?
Parce qu'on peut faire des tirages avec ou sans remise, et qu'on peut définir des événements variés : « obtenir un cœur », « obtenir une figure », « obtenir l'as de pique », etc. De plus, si le tirage est équiprobable (chaque carte a la même chance d'être tirée), on peut appliquer la formule du collège.
La formule fondamentale : P(A) = cas favorables / cas possibles
Au collège, tu as appris que si toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement A est :
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
Cette formule est utilisable dans le cadre d'un tirage d'une carte dans un jeu de 52 cartes, à condition que le tirage soit au hasard et que chaque carte ait autant de chances d'être tirée.
Exemple simple : tirer un as
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 as. Si on tire une carte au hasard, la probabilité d'obtenir un as est :
P(as) = 4/52 = 1/13 ≈ 0,077 (soit environ 7,7 %).
Pourquoi ? Parce qu'il y a 4 issues favorables (les 4 as) sur 52 issues possibles.
Exemple : tirer une carte rouge
Il y a 26 cartes rouges (cœur + carreau). Donc P(rouge) = 26/52 = 1/2 = 0,5. Intuitif : la moitié du jeu est rouge.
Ces exemples simples sont typiques du programme de collège. Mais attention : cette formule ne s'applique que si l'équiprobabilité est garantie. Si le jeu est truqué, ce n'est plus valable.
Au lycée : événements, réunions, intersections, contraires
Au lycée, on approfondit. On note les événements avec des lettres majuscules. Par exemple :
- A : « tirer un cœur »
- B : « tirer une figure »
- C : « tirer l'as de pique »
Probabilité de l'union : P(A ∪ B)
Pour calculer la probabilité que A ou B se réalise, on utilise la formule :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Il faut soustraire l'intersection pour ne pas compter deux fois les cas où les deux événements se réalisent ensemble.
Exemple : On tire une carte. A = « cœur » (13 cartes), B = « figure » (12 cartes). L'intersection A ∩ B = « figure de cœur » : il y a 3 figures de cœur (Valet, Dame, Roi de cœur).
P(A) = 13/52 = 1/4, P(B) = 12/52 = 3/13, P(A ∩ B) = 3/52.
Donc P(A ∪ B) = 13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52 = 11/26 ≈ 0,423.
Probabilité du contraire : P(Ā)
Le contraire d'un événement A est noté Ā (ou non A). Sa probabilité est :
P(Ā) = 1 − P(A)
Exemple : Si A = « tirer un cœur », P(A) = 1/4, donc P(Ā) = 3/4. C'est la probabilité de ne pas tirer un cœur.
Événements incompatibles et indépendants
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Par exemple, « tirer un cœur » et « tirer un trèfle » sont incompatibles. Dans ce cas, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (pas d'intersection).
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Par exemple, lors de deux tirages avec remise, tirer un cœur au premier tirage et une figure au second sont indépendants.
Tirages avec ou sans remise : ne pas confondre !
Dans un exercice, il est crucial de savoir si on remet la carte dans le paquet après chaque tirage. Cela change tout !
Avec remise
On tire une carte, on note le résultat, puis on la remet. L'univers reste identique : à chaque tirage, on a toujours 52 cartes. Les tirages sont indépendants. Par exemple, la probabilité de tirer deux fois un as est :
P(1er as) × P(2e as) = (4/52) × (4/52) = 16/2704 ≈ 0,0059.
Sans remise
On ne remet pas la carte. Après le premier tirage, il ne reste que 51 cartes. Les tirages ne sont plus indépendants. Par exemple, la probabilité de tirer deux as sans remise est :
P(1er as) × P(2e as sachant que le premier est un as) = (4/52) × (3/51) = 12/2652 ≈ 0,0045.
Cet exemple illustre bien la différence : sans remise, la probabilité diminue car il reste moins d'as.
Construire un arbre pondéré pour des tirages successifs
Lorsqu'on fait plusieurs tirages, l'arbre pondéré est un outil visuel très efficace. On y note sur chaque branche la probabilité de l'issue correspondante. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.
Exemple : deux tirages sans remise
On tire deux cartes sans remise. On s'intéresse à la probabilité d'obtenir au moins un as.
L'arbre a deux niveaux :
- Premier tirage : As (probabilité 4/52) ou non-As (48/52).
- Deuxième tirage : si on a tiré un as, il reste 3 as sur 51 cartes, donc P(As) = 3/51 et P(non-As) = 48/51. Si on n'a pas tiré d'as, il reste 4 as sur 51, donc P(As) = 4/51 et P(non-As) = 47/51.
Pour obtenir au moins un as, on additionne les probabilités des chemins qui contiennent un as :
P(As puis non-As) = (4/52) × (48/51) = 192/2652
P(non-As puis As) = (48/52) × (4/51) = 192/2652
P(As puis As) = (4/52) × (3/51) = 12/2652
Total : (192+192+12)/2652 = 396/2652 = 33/221 ≈ 0,149.
On aurait aussi pu utiliser le contraire : P(aucun as) = (48/52) × (47/51) = 2256/2652, puis 1 − 2256/2652 = 396/2652. Même résultat !
Variables aléatoires et espérance : pour aller plus loin au bac
En terminale, on définit une variable aléatoire X qui associe un nombre à chaque issue. Par exemple, on peut définir un jeu où on gagne 10 € si on tire un as, et on perd 1 € sinon. On peut alors calculer la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
Exemple de loi de probabilité
Soit X le gain (en euros) pour un tirage d'une carte dans un jeu de 52 cartes. On suppose que tirer un as rapporte 10 €, et toute autre carte fait perdre 1 €.
- P(X = 10) = 4/52 = 1/13
- P(X = −1) = 48/52 = 12/13
L'espérance est : E(X) = 10 × (1/13) + (−1) × (12/13) = (10 − 12)/13 = −2/13 ≈ −0,154 €.
Le jeu est donc défavorable en moyenne : on perd environ 15 centimes par partie.
Cette notion d'espérance est essentielle pour modéliser des jeux de hasard et prendre des décisions.
Conseils de méthode pour réussir tes exercices
Voici une méthode en 5 étapes pour aborder sereinement tout exercice de probabilité avec des cartes :
- Identifie le type de tirage : avec ou sans remise ? Une ou plusieurs cartes ?
- Définis l'univers : combien d'issues possibles ? Est-il équiprobable ?
- Compte les cas favorables : sois précis, n'oublie pas les 4 couleurs.
- Choisis la bonne formule : P(A) = cas favorables / cas possibles, P(A∪B), P(Ā), ou arbre pondéré.
- Vérifie tes calculs : la probabilité doit être entre 0 et 1, et la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit faire 1.
Pour t'entraîner, consulte nos exercices corrigés et nos fiches de révision. Tu peux aussi t'entraîner avec les annales du brevet et du bac.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre avec et sans remise : relis bien l'énoncé.
- Oublier l'équiprobabilité : si le jeu est truqué, la formule du collège ne marche pas.
- Additionner des probabilités d'événements non incompatibles : pense à soustraire l'intersection.
- Utiliser la formule des cas favorables pour des tirages multiples : pour plusieurs tirages, utilise un arbre ou la loi binomiale.
Conclusion
Le jeu de 52 cartes est un support fantastique pour comprendre les probabilités. Au collège, tu as appris la formule de base ; au lycée, tu as découvert des outils plus puissants comme les arbres pondérés et l'espérance. Avec de la pratique, tu deviendras incollable ! N'hésite pas à refaire les exemples de cet article et à explorer les ressources de AlloProbabilites.fr. Bonne chance !