Tu as déjà lancé un dé, tiré une carte ou joué à pile ou face ? Les probabilités servent à mesurer le hasard. Parmi les notions clés, il y a la réunion (notée A ∪ B) et l'intersection (notée A ∩ B) d'événements. Souvent, les élèves confondent ces deux concepts. Pas de panique ! Dans cet article, on va les démêler ensemble, avec des exemples concrets et des formules simples. À la fin, tu sauras calculer P(A ou B) sans te tromper. C'est parti !
Qu'est-ce qu'un événement en probabilités ?
Avant de parler d'union et d'intersection, il faut bien comprendre ce qu'est un événement. Une expérience aléatoire (lancer un dé, tirer une carte, etc.) produit des résultats possibles, qu'on appelle l'univers. Par exemple, quand tu lances un dé à 6 faces, l'univers est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un événement est un ensemble de résultats qui t'intéressent. Par exemple :
- A : « obtenir un nombre pair » → A = {2, 4, 6}
- B : « obtenir un nombre supérieur à 3 » → B = {4, 5, 6}
Chaque événement a une probabilité, notée P(A), qui est un nombre entre 0 et 1. Si toutes les issues sont équiprobables (mêmes chances), alors P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Pour l'événement A ci-dessus, P(A) = 3/6 = 0,5.
L'intersection : A ∩ B (A et B)
L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'ensemble des issues qui sont à la fois dans A et dans B. On lit « A inter B » ou « A et B ». Pour la calculer, on cherche les résultats qui appartiennent aux deux événements en même temps.
Reprenons notre dé : A = {2, 4, 6} (pair) et B = {4, 5, 6} (supérieur à 3). L'intersection A ∩ B contient les nombres pairs ET supérieurs à 3 : ce sont 4 et 6. Donc A ∩ B = {4, 6}.
La probabilité de l'intersection se note P(A ∩ B). Dans notre exemple, P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3. C'est la probabilité d'obtenir un nombre qui vérifie les deux conditions.
La réunion : A ∪ B (A ou B)
La réunion de A et B, notée A ∪ B, est l'ensemble des issues qui sont dans A ou dans B (ou les deux). On lit « A union B » ou « A ou B ». Attention : en mathématiques, « ou » est inclusif, c'est-à-dire que si une issue est dans les deux, elle compte quand même une seule fois.
Pour notre dé, A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. On a pris tous les éléments de A (2, 4, 6) et tous ceux de B (4, 5, 6), mais on ne compte pas 4 et 6 deux fois. La probabilité de la réunion est P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3.
La formule clé : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B)
Pour calculer la probabilité de la réunion, il existe une formule très pratique :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Pourquoi soustraire l'intersection ? Parce que quand on additionne P(A) et P(B), on compte deux fois les issues qui sont dans les deux événements (l'intersection). En la soustrayant, on corrige ce double comptage.
Vérifions avec notre exemple : P(A) = 3/6, P(B) = 3/6, P(A ∩ B) = 2/6. Donc P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. Ça marche !
Cas particulier : événements incompatibles
Si deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, on dit qu'ils sont incompatibles (ou disjoints). Leur intersection est vide (A ∩ B = ∅). Dans ce cas, la formule devient plus simple :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Par exemple, au lancer d'un dé, A = « obtenir 1 » et B = « obtenir 6 » sont incompatibles. P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Méthode pas à pas pour calculer P(A ou B)
Voici une méthode fiable pour résoudre ce type d'exercice :
- Identifie l'expérience et l'univers. Quelles sont toutes les issues possibles ?
- Définis clairement les événements A et B. Écris leurs ensembles en extension si possible.
- Calcule P(A) et P(B) en utilisant la formule des cas favorables (si équiprobable) ou un arbre pondéré.
- Détermine l'intersection A ∩ B. Quelles issues sont à la fois dans A et B ? Calcule P(A ∩ B).
- Applique la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Exemple corrigé : tirage de cartes
Prenons un jeu de 32 cartes (plus simple pour compter). On tire une carte au hasard. On définit :
- A : « la carte est un cœur »
- B : « la carte est une figure » (valet, dame, roi)
Il y a 32 cartes, donc 32 issues équiprobables. Le jeu de 32 cartes contient 8 cœurs (A : 8 issues), et 12 figures (B : 3 figures par couleur × 4 couleurs = 12). L'intersection A ∩ B : les cœurs qui sont des figures. Il y a 3 figures à cœur (valet, dame, roi de cœur). Donc P(A ∩ B) = 3/32.
Calculons : P(A) = 8/32, P(B) = 12/32, P(A ∩ B) = 3/32. Alors P(A ∪ B) = 8/32 + 12/32 − 3/32 = 17/32. La probabilité de tirer un cœur ou une figure est de 17/32.
Représenter avec un arbre ou un tableau
Pour visualiser l'union et l'intersection, on peut utiliser un arbre pondéré ou un tableau à double entrée. Ces outils sont très utiles au lycée, surtout quand les événements sont plus complexes.
Par exemple, pour une expérience à deux étapes (lancer deux dés, tirage successif), un arbre permet de lister toutes les issues et de calculer les probabilités en multipliant les branches. L'intersection correspond alors à un chemin précis, et la réunion à plusieurs chemins.
Si tu veux t'entraîner, va voir nos exercices de probabilités pour t'exercer avec des arbres et des tableaux.
Lien avec la notion d'indépendance
Au lycée, on introduit l'indépendance de deux événements. Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). C'est une notion différente de l'incompatibilité ! Ne confonds pas :
- Incompatibles : A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0.
- Indépendants : la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre, et P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Par exemple, lancer deux dés : « obtenir 6 sur le premier dé » et « obtenir 6 sur le second » sont indépendants, mais ils peuvent se produire en même temps (intersection non vide). En revanche, « obtenir 1 » et « obtenir 6 » sur le même dé sont incompatibles.
Pour approfondir, consulte notre fiche mémo sur les probabilités qui récapitule toutes les formules importantes.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier de soustraire l'intersection quand les événements ne sont pas incompatibles.
- Compter deux fois les issues communes quand on énumère la réunion.
- Confondre « ou » inclusif et « ou » exclusif (au sens « soit l'un, soit l'autre, mais pas les deux »). En probabilités, on utilise le « ou » inclusif.
- Appliquer la formule des cas favorables sans vérifier l'équiprobabilité.
Entraîne-toi avec des jeux et des quiz
La meilleure façon de maîtriser l'union et l'intersection, c'est de s'entraîner. Nous avons créé des jeux interactifs pour t'aider à réviser tout en t'amusant. Tu peux aussi tester tes connaissances avec des exercices variés sur notre site.
Et si tu prépares le brevet, n'oublie pas de jeter un œil à AlloBrevêt pour des révisions complètes. Pour le bac, AlloBac est là pour toi.
Conclusion
Récapitulons : l'intersection (A ∩ B) regroupe les issues qui sont à la fois dans A et dans B, tandis que la réunion (A ∪ B) regroupe les issues qui sont dans A ou dans B (ou les deux). La formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) est essentielle pour calculer P(A ou B). Avec un peu de pratique, tu verras que c'est très intuitif. Alors, lance-toi et fais des exercices !
Si tu as besoin d'aide, n'hésite pas à revenir sur AlloProbabilités pour revoir les notions ou t'entraîner davantage. Bonne chance !