La formule des probabilités totales est un outil puissant pour calculer la probabilité d'un événement qui dépend de plusieurs causes possibles. Pas de panique : avec une bonne méthode et un arbre pondéré bien construit, tu verras que c'est plus simple qu'il n'y paraît ! Ici, on va tout décomposer, étape par étape, avec des exemples concrets.
Qu'est-ce que la formule des probabilités totales ?
Imaginons que tu veuilles calculer la probabilité qu'un événement B se réalise, mais que la réalisation de B dépend d'un premier événement A (ou de plusieurs événements qui forment une partition de l'univers). La formule des probabilités totales te permet de faire la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à B dans un arbre pondéré.
En termes simples : si l'univers est découpé en plusieurs parties (événements) qui ne se chevauchent pas et qui couvrent tout, alors la probabilité de B est la somme des probabilités de B dans chaque partie, pondérées par la probabilité de chaque partie.
La formule générale
Si les événements A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers (c'est-à-dire qu'ils sont incompatibles deux à deux et que leur réunion est l'univers entier), alors pour tout événement B :
P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂) + … + P(Aₙ) × P(B|Aₙ)
Ici, P(B|Aᵢ) se lit « probabilité de B sachant que Aᵢ est réalisé ». C'est une probabilité conditionnelle.
Pourquoi cette formule est-elle utile ?
Elle est particulièrement utile quand le calcul direct de P(B) est difficile, mais que l'on connaît les probabilités conditionnelles. Par exemple, dans une usine, la probabilité qu'un produit soit défectueux peut dépendre de la machine qui l'a fabriqué. Si l'on connaît la proportion de produits fabriqués par chaque machine et le taux de défauts de chaque machine, on peut calculer la probabilité globale qu'un produit soit défectueux.
Dans la vie courante
On l'utilise aussi en médecine (prévalence d'une maladie en fonction de facteurs de risque), en assurance (probabilité d'accident selon l'âge), ou encore dans les jeux de hasard. Dès qu'il y a plusieurs étapes ou plusieurs groupes, cette formule est ton amie.
La méthode étape par étape
Voici comment appliquer la formule sans te tromper :
- Étape 1 : Identifier la partition – Repère les événements qui divisent l'univers (souvent les premières branches de l'arbre). Ils doivent être incompatibles et couvrir tous les cas possibles.
- Étape 2 : Construire un arbre pondéré – Place les probabilités sur les branches. La somme des probabilités issues d'un même nœud doit être égale à 1.
- Étape 3 : Repérer l'événement B – B est souvent l'événement final dont tu cherches la probabilité.
- Étape 4 : Appliquer la formule – Multiplie les probabilités le long de chaque chemin menant à B, puis additionne toutes ces valeurs.
- Étape 5 : Vérifier la cohérence – Le résultat doit être compris entre 0 et 1. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part.
Exemple simple : un tirage dans une urne
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la remet. On tire une seconde boule. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit rouge ?
Ici, la partition est : A₁ = « la première boule est rouge » et A₂ = « la première boule est bleue ». On a P(A₁) = 3/5 et P(A₂) = 2/5. Comme il y a remise, la composition de l'urne ne change pas : P(B|A₁) = 3/5 et P(B|A₂) = 3/5. Alors P(B) = (3/5)×(3/5) + (2/5)×(3/5) = 9/25 + 6/25 = 15/25 = 3/5. Logique, car la probabilité de tirer une rouge est toujours 3/5, indépendamment du premier tirage.
Exemple corrigé en détail : les deux machines
Une entreprise fabrique des pièces avec deux machines : la machine A produit 60 % des pièces, la machine B produit 40 %. La machine A a un taux de défaut de 2 %, la machine B un taux de 5 %. On choisit une pièce au hasard dans la production totale. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?
Définissons les événements :
- A : « la pièce provient de la machine A »
- B : « la pièce provient de la machine B »
- D : « la pièce est défectueuse »
On a P(A) = 0,60, P(B) = 0,40, P(D|A) = 0,02, P(D|B) = 0,05.
Les événements A et B forment une partition (toute pièce vient soit de A, soit de B). On applique la formule des probabilités totales :
P(D) = P(A) × P(D|A) + P(B) × P(D|B)
= 0,60 × 0,02 + 0,40 × 0,05
= 0,012 + 0,020
= 0,032
Donc la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse est de 0,032, soit 3,2 %.
Interprétation avec un arbre
Si tu dessines un arbre, tu vois deux branches initiales (A et B) avec leurs probabilités, puis deux branches secondaires (D et non-D) avec les probabilités conditionnelles. La probabilité de D est la somme des produits le long des deux chemins qui mènent à D.
Quand utiliser la formule des probabilités totales ?
Elle s'utilise dès que tu as une situation à deux étapes (ou plus) où la première étape influence la seconde. C'est typiquement le cas avec les tirages successifs (avec ou sans remise), les tests de dépistage, les sondages, etc. Attention : il faut bien vérifier que la partition est correcte. Par exemple, si tu as trois machines, il faut trois événements.
Lien avec le théorème de Bayes
La formule des probabilités totales est aussi la base du théorème de Bayes, qui permet de « remonter » le temps : sachant que D est réalisé, quelle est la probabilité que la pièce vienne de la machine A ? On utilise alors la formule de Bayes, qui fait intervenir la probabilité totale au dénominateur.
Conseils pour bien appliquer la formule
- Dessine toujours un arbre pondéré – C'est le meilleur moyen de visualiser les chemins.
- Vérifie que les probabilités sur les branches partant d'un même nœud somment à 1.
- Identifie clairement la partition – Les événements doivent être incompatibles et leur réunion doit être l'univers.
- Utilise la bonne notation – En lycée, on écrit P(B|A) pour « probabilité de B sachant A ».
- Entraîne-toi avec des exercices variés – des urnes, des dés, des cartes, des situations réelles.
Erreurs fréquentes à éviter
- Oublier de pondérer par P(A) – On ne peut pas simplement additionner les probabilités conditionnelles.
- Utiliser une partition incomplète – Par exemple, oublier le cas « ni A ni B ».
- Confondre avec la formule des probabilités composées : P(A∩B) = P(A)×P(B|A). La formule des probabilités totales est une somme de ces produits.
Exemple avec un arbre : tirage sans remise
Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 vertes. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit verte ?
Soit A₁ : « la première boule est rouge » et A₂ : « la première boule est verte ». On a P(A₁) = 3/5, P(A₂) = 2/5. Si la première est rouge, il reste 2 rouges et 2 vertes, donc P(V₂|A₁) = 2/4 = 1/2. Si la première est verte, il reste 3 rouges et 1 verte, donc P(V₂|A₂) = 1/4.
Alors P(V₂) = (3/5)×(1/2) + (2/5)×(1/4) = 3/10 + 2/20 = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5.
On peut vérifier : la probabilité que la seconde soit verte est bien 2/5, car par symétrie, chaque position a la même probabilité d'être verte.
La formule des probabilités totales au lycée
En classe de première et terminale, on utilise cette formule dans des contextes plus abstraits : variables aléatoires, lois de probabilité, indépendance. Par exemple, pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire qui dépend d'une première expérience, on peut utiliser une formule analogue. Mais le principe reste le même : décomposer selon les cas possibles.
Cas particulier : deux événements complémentaires
Si la partition est constituée de A et de son contraire (noté Ā), la formule s'écrit :
P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)
C'est la version la plus courante dans les exercices de lycée. Par exemple, pour un test de dépistage : A = « la personne est malade », Ā = « la personne n'est pas malade », B = « le test est positif ». On connaît la prévalence P(A), la sensibilité P(B|A) et la spécificité P(Ā|B) (ou plutôt P(B|Ā) pour le taux de faux positifs). La formule donne la probabilité que le test soit positif.
Comment réviser efficacement cette notion ?
La meilleure façon de maîtriser la formule des probabilités totales est de faire des exercices. Commence par des situations simples (dés, pièces, urnes) puis augmente la difficulté (situations réelles, arbres à plusieurs niveaux). Utilise les exercices interactifs pour t'entraîner, et consulte les fiches mémo pour retenir les formules clés. Si tu es en terminale, n'oublie pas de revoir aussi le théorème de Bayes et les liens avec la loi binomiale.
Conclusion
La formule des probabilités totales est un outil essentiel pour calculer des probabilités dans des situations complexes. Avec de la pratique, tu sauras rapidement identifier la partition et appliquer la formule sans hésiter. N'oublie pas : un arbre pondéré bien construit est la clé. Et si tu bloques, reviens à la définition : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Continue à t'entraîner, et tu verras que les probabilités deviendront un jeu d'enfant ! Pour aller plus loin, explore nos ressources pour le lycée et prépare-toi sereinement pour le brevet ou le bac.