La loi de Bernoulli en probabilités : le guide complet

La loi de Bernoulli est l'une des lois de probabilité les plus simples, mais aussi l'une des plus importantes. Elle modélise une expérience à deux issues possibles : succès ou échec. Pile ou face, oui ou non, vrai ou faux… Autant de situations qui suivent cette loi. Dans ce guide complet, tu vas apprendre à la reconnaître, à calculer son espérance et sa variance, et à l'utiliser pour construire la loi binomiale. C'est un outil indispensable pour réussir tes épreuves de mathématiques au lycée.

Qu'est-ce que la loi de Bernoulli ?

La loi de Bernoulli porte le nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705). Elle s'applique à une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, que l'on appelle conventionnellement succès (noté 1) et échec (noté 0).

On parle alors d'épreuve de Bernoulli. Par exemple : lancer une pièce de monnaie et obtenir pile (succès) ou face (échec) ; répondre au hasard à une question de QCM ; tester un produit pour voir s'il est défectueux, etc.

Si on note p la probabilité du succès (avec p entre 0 et 1), alors la probabilité de l'échec est 1 − p. On définit alors une variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

Représentation de la loi

On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant :

• X = 1 (succès) avec probabilité p
• X = 0 (échec) avec probabilité 1 − p

La somme des probabilités est bien égale à 1, car p + (1 − p) = 1. C'est une condition indispensable pour toute loi de probabilité.

Comment reconnaître une épreuve de Bernoulli ?

Pour savoir si une expérience suit une épreuve de Bernoulli, pose-toi ces trois questions :

• Y a-t-il exactement deux issues possibles ? (Oui/Non, Succès/Échec, Vrai/Faux…)
• Peut-on définir clairement ce qu'est un succès ?
• La probabilité de succès est-elle constante ?

Si tu réponds oui à ces trois questions, alors tu es en présence d'une épreuve de Bernoulli. Attention : les deux issues doivent être exhaustives, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autre possibilité. Par exemple, lancer un dé à six faces n'est pas une épreuve de Bernoulli, car il y a six issues possibles. Mais si on s'intéresse à l'événement « obtenir un 6 » (succès) ou « ne pas obtenir un 6 » (échec), alors on a bien une épreuve de Bernoulli avec p = 1/6.

Espérance et variance de la loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli a des formules très simples pour l'espérance et la variance. L'espérance, notée E(X), représente la valeur moyenne de X sur un grand nombre d'expériences. On la calcule avec la formule :

E(X) = p

En effet, E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p. Intuitivement, si tu joues à un jeu où tu gagnes 1 euro avec probabilité p et 0 euro sinon, ton gain moyen par partie sera de p euros.

La variance, notée V(X), mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Sa formule est :

V(X) = p(1 − p)

Et l'écart-type, noté σ(X), est la racine carrée de la variance : σ(X) = √(p(1−p)).

Ces formules sont à connaître par cœur pour le bac. Tu les retrouveras aussi dans la loi binomiale, qui est une généralisation de la loi de Bernoulli.

Exemple concret : le lancer d'une pièce truquée

Prenons un exemple simple. Une pièce de monnaie est truquée : la probabilité d'obtenir pile est de 0,6. On note X la variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient pile (succès) et 0 si on obtient face (échec).

Ici, p = 0,6, donc la loi de Bernoulli est :

• P(X = 1) = 0,6
• P(X = 0) = 0,4

L'espérance est E(X) = 0,6. Cela signifie que si tu lances cette pièce un très grand nombre de fois, tu obtiendras en moyenne 0,6 pile par lancer (ce qui est une notion abstraite, mais mathématiquement correcte).

La variance est V(X) = 0,6 × 0,4 = 0,24. L'écart-type est √0,24 ≈ 0,49.

Autre exemple : le QCM

Un QCM comporte une question avec quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard. On définit le succès comme « répondre correctement ». La probabilité de succès est p = 1/4 = 0,25. La loi de Bernoulli est donc : P(X=1) = 0,25 et P(X=0) = 0,75. L'espérance est 0,25, la variance est 0,25 × 0,75 = 0,1875.

La loi de Bernoulli et la loi binomiale

La loi de Bernoulli est le fondement de la loi binomiale. Si tu répètes n fois une même épreuve de Bernoulli, de manière indépendante, et que tu comptes le nombre de succès, alors cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Par exemple, si tu lances 10 fois une pièce équilibrée et que tu comptes le nombre de piles, tu obtiens une loi binomiale avec n = 10 et p = 0,5. La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule :

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)

où C(n,k) est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. Cette formule est à connaître pour la Terminale.

L'espérance de la loi binomiale est np, et sa variance est np(1−p). On retrouve bien les formules de Bernoulli multipliées par n.

Méthode pour résoudre un exercice sur la loi de Bernoulli

Voici une méthode étape par étape pour aborder sereinement un exercice de probabilités qui met en jeu une épreuve de Bernoulli :

1. Identifier l'épreuve : Vérifie qu'il n'y a que deux issues possibles. Définis clairement le succès et l'échec.
2. Déterminer la probabilité de succès p : Lis attentivement l'énoncé. Parfois, p est donné, parfois il faut le calculer (par exemple, p = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles, si l'expérience est équiprobable).
3. Écrire la loi de Bernoulli : Note P(X=1) = p et P(X=0) = 1−p. Tu peux faire un petit tableau de valeurs.
4. Calculer l'espérance et la variance : Utilise les formules E(X) = p et V(X) = p(1−p). Vérifie que p est bien entre 0 et 1.
5. Interpréter les résultats : Que signifie l'espérance dans le contexte ? Par exemple, si c'est un jeu d'argent, l'espérance représente le gain moyen par partie.

Cette méthode te permettra de ne rien oublier. Pour t'entraîner, n'hésite pas à consulter les exercices de probabilités sur AlloProbabilites.

Erreurs fréquentes à éviter

Voici les pièges les plus courants quand on manipule la loi de Bernoulli :

• Confondre succès et échec : Le succès n'est pas toujours « positif » dans la vie réelle. Par exemple, pour une compagnie d'assurance, le « succès » peut être un sinistre. C'est toi qui définis le succès dans l'énoncé.
• Oublier que p est entre 0 et 1 : Si tu trouves p = 1,5, c'est impossible. Relis-toi.
• Confondre épreuve de Bernoulli et loi binomiale : La loi de Bernoulli concerne une seule expérience, la loi binomiale concerne la répétition de n expériences identiques et indépendantes.
• Utiliser la formule des cas favorables sans vérifier l'équiprobabilité : Cette formule ne s'applique que si toutes les issues ont la même probabilité. Par exemple, sur un dé truqué, tu ne peux pas l'utiliser.

Conseils pour réviser et mémoriser

Pour bien mémoriser la loi de Bernoulli, voici quelques astuces :

• Récite les formules de l'espérance et de la variance à voix haute, en les reliant à des exemples concrets (pièce, dé, QCM).
• Fais des fiches de révision avec les définitions et les formules clés. Tu peux trouver des fiches mémo prêtes à l'emploi sur notre site.
• Entraîne-toi avec des exercices variés, en commençant par des cas simples puis en augmentant la difficulté.
• Utilise un arbre pondéré pour visualiser une épreuve de Bernoulli : une branche vers succès (p) et une branche vers échec (1−p).

Si tu prépares le brevet, tu peux aussi consulter AlloBrevets pour des ressources adaptées. Et pour le bac, AlloBac t'accompagne avec des cours et des annales.

Conclusion

La loi de Bernoulli est un concept clé en probabilités. Elle te permet de modéliser des situations binaires et constitue la brique de base de la loi binomiale. Avec ses formules simples (E(X)=p, V(X)=p(1−p)), elle est facile à utiliser si tu suis bien la méthode. N'oublie pas de t'entraîner régulièrement et de vérifier tes calculs. Tu verras, les probabilités deviendront un jeu d'enfant !

Pour aller plus loin, explore les ressources de probabilités pour le lycée et n'hésite pas à refaire les exercices plusieurs fois. Bon courage !