Pourquoi la formule des probabilités totales est indispensable ?
En probabilités, il arrive souvent que l'on cherche la probabilité d'un événement qui peut se produire de plusieurs façons différentes, selon différentes situations. Par exemple, la probabilité d'être en retard au cours dépend du moyen de transport utilisé (bus, vélo, voiture). La formule des probabilités totales permet de calculer cette probabilité globale en utilisant les probabilités de chaque situation et les probabilités conditionnelles.
Dans cet article, tu vas apprendre à appliquer cette formule étape par étape, avec un exemple concret. Tu verras aussi comment construire un arbre pondéré pour visualiser les chemins possibles. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce que la formule des probabilités totales ?
La notion de partition de l'univers
Avant de donner la formule, il faut comprendre ce qu'est une partition de l'univers. Une partition, c'est un ensemble d'événements qui sont :
- incompatibles deux à deux (ils ne peuvent pas se produire en même temps),
- et dont la réunion forme l'univers tout entier (l'un des événements se produit forcément).
Exemple : si on lance un dé, les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » forment une partition de l'univers {1,2,3,4,5,6}.
La formule
Soit un événement B dont on cherche la probabilité. Si les événements A₁, A₂, ..., Aₙ forment une partition de l'univers, alors :
P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂) + ... + P(Aₙ) × P(B|Aₙ)
En français : la probabilité de B est la somme des probabilités de chaque chemin qui mène à B dans un arbre pondéré. Chaque chemin correspond à la probabilité de la première branche (P(Aᵢ)) multipliée par la probabilité de la seconde branche (P(B|Aᵢ)).
Méthode étape par étape pour utiliser la formule
1. Identifier la partition
Repère les événements qui représentent les différentes « situations de départ ». Ils doivent être incompatibles et couvrir tous les cas possibles.
2. Construire un arbre pondéré
Place les événements de la partition au premier niveau. À chaque nœud, ajoute les branches correspondant à l'événement B et à son contraire. Indique les probabilités sur chaque branche.
3. Appliquer la formule
Pour chaque premier événement Aᵢ, calcule le produit P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ). Additionne tous ces produits pour obtenir P(B).
Astuce : Vérifie que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Exemple concret corrigé
Prenons un exemple classique : une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard, puis on lance une pièce de monnaie. Si la boule est rouge, la pièce est truquée : elle tombe sur Pile avec une probabilité de 0,7. Si la boule est verte, la pièce est équilibrée (Pile avec probabilité 0,5). Quelle est la probabilité d'obtenir Pile ?
Étape 1 : Identifier la partition
Les événements « la boule tirée est rouge » (noté R) et « la boule tirée est verte » (noté V) forment une partition de l'univers. En effet, on tire forcément une boule, et elle ne peut pas être à la fois rouge et verte.
Étape 2 : Probabilités de la partition
P(R) = 3/5 = 0,6 ; P(V) = 2/5 = 0,4.
Étape 3 : Probabilités conditionnelles
P(Pile|R) = 0,7 ; P(Pile|V) = 0,5.
Étape 4 : Appliquer la formule
P(Pile) = P(R) × P(Pile|R) + P(V) × P(Pile|V) = 0,6 × 0,7 + 0,4 × 0,5 = 0,42 + 0,20 = 0,62.
La probabilité d'obtenir Pile est donc de 0,62.
Conseils pour bien utiliser la formule des probabilités totales
- Vérifie la partition : assure-toi que les événements de premier niveau sont bien incompatibles et que leur union couvre tous les cas.
- Construis toujours un arbre : cela t'aide à visualiser les chemins et à ne rien oublier.
- Attention aux probabilités conditionnelles : la formule utilise P(B|Aᵢ), pas P(Aᵢ|B). Ne les inverse pas !
- Entraîne-toi avec des exercices variés : plus tu pratiqueras, plus la méthode deviendra naturelle. Rendez-vous sur la page exercices pour t'entraîner.
- Révise les bases : avant d'attaquer la formule des probabilités totales, assure-toi de maîtriser les probabilités conditionnelles et la construction d'arbres pondérés. Consulte notre fiche mémo pour un rappel.
Quand utiliser cette formule ?
La formule des probabilités totales est très utile dans les situations où un événement peut se produire via plusieurs « chemins » différents. Par exemple :
- Dans un test de dépistage : la probabilité d'être malade sachant que le test est positif dépend de la prévalence de la maladie.
- Dans une usine : la probabilité qu'un produit soit défectueux dépend de la machine qui l'a fabriqué.
- Dans les jeux : la probabilité de gagner dépend de la stratégie choisie.
En Terminale, tu rencontreras aussi cette formule dans le cadre de la loi binomiale ou des variables aléatoires. Pour approfondir, consulte la page lycée sur AlloProbabilités.
Conclusion
La formule des probabilités totales est un outil puissant pour calculer des probabilités complexes. Avec la méthode de l'arbre pondéré et un peu de pratique, tu verras que c'est un jeu d'enfant ! N'oublie pas : la clé est de bien identifier la partition et de ne pas confondre les probabilités conditionnelles. Continue à t'entraîner, et tu deviendras un as des probabilités. Pour réviser le brevet ou le bac, n'hésite pas à visiter AlloBrevET et AlloBac.