Pourquoi choisir entre arbre et tableau ?
Quand tu fais des probabilités, tu as souvent besoin de représenter une expérience aléatoire. Deux outils sont très pratiques : l'arbre pondéré et le tableau. Mais lequel utiliser ? Tout dépend de la situation. Dans cet article, on va voir ensemble quand privilégier l'un ou l'autre, avec des exemples simples pour que tu saches faire le bon choix.
L'arbre pondéré : pour les expériences à plusieurs étapes
Un arbre pondéré est idéal quand l'expérience se déroule en plusieurs étapes successives. Par exemple : lancer une pièce puis lancer un dé, ou tirer deux boules dans une urne avec remise ou sans remise. Chaque branche représente une issue possible, et on écrit la probabilité correspondante.
Exemple : lancer une pièce puis un dé
On lance d'abord une pièce équilibrée (Pile ou Face), puis on lance un dé à 6 faces équilibré. On veut la probabilité d'obtenir Pile puis un nombre pair.
- Premier niveau : deux branches : Pile (1/2) et Face (1/2).
- Deuxième niveau : pour chaque branche, six branches : 1,2,3,4,5,6 (chacune avec proba 1/6).
- La probabilité d'une issue (par exemple Pile puis 2) est le produit des probabilités le long du chemin : 1/2 × 1/6 = 1/12.
- Pour Pile puis un pair : on additionne les probas des chemins (Pile,2), (Pile,4), (Pile,6) : 1/12+1/12+1/12 = 3/12 = 1/4.
L'arbre permet de visualiser les chemins et de multiplier les probabilités facilement.
Le tableau : pour deux expériences simultanées ou deux caractères
Un tableau est parfait quand on a deux expériences indépendantes réalisées en même temps, ou deux caractères d'un même univers. Par exemple : lancer deux dés, ou croiser le sexe et la couleur des yeux dans un groupe.
Exemple : lancer deux dés équilibrés
On lance deux dés, on veut la probabilité que la somme fasse 7. On peut faire un tableau à double entrée : en lignes les résultats du premier dé (1 à 6), en colonnes ceux du second (1 à 6). Chaque case correspond à une issue (équiprobable, 1/36). Les sommes égales à 7 sont dans une diagonale : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas favorables. Donc P(somme=7) = 6/36 = 1/6.
Le tableau est clair pour compter les cas favorables quand l'univers est un produit cartésien.
Comparaison : arbre vs tableau
Voici un résumé pour t'aider à choisir :
- Arbre : expérience en plusieurs étapes (successives), avec ou sans remise, probabilités conditionnelles. Exemple : tirage sans remise de deux boules.
- Tableau : deux expériences simultanées (ou deux caractères), univers produit, équiprobabilité. Exemple : lancer deux dés, croisement de données.
- Les deux peuvent marcher : parfois les deux sont possibles, mais l'un est plus rapide. Par exemple, pour deux lancers de pièce, un arbre à deux niveaux ou un tableau 2×2 donnent la même information. Choisis celui que tu maîtrises le mieux.
Méthode étape par étape pour construire un arbre
1. Identifie les étapes successives. 2. Pour chaque étape, liste les résultats possibles. 3. Écris la probabilité de chaque résultat (attention : si l'expérience est sans remise, les probas changent après chaque tirage). 4. Multiplie les probas le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'issue finale. 5. Pour un événement qui contient plusieurs chemins, additionne les probas des chemins.
Méthode étape par étape pour construire un tableau
1. Définis les deux ensembles (par exemple résultats du dé 1 et du dé 2). 2. Dessine un tableau avec autant de lignes que d'issues pour le premier, autant de colonnes pour le second. 3. Remplis chaque case avec le résultat de l'événement (par exemple la somme). 4. Compte le nombre de cases correspondant à l'événement souhaité. 5. Divise par le nombre total de cases (si équiprobabilité).
Conseils de méthode et révisions
Pour t'entraîner, n'hésite pas à consulter nos fiches de révisions et nos exercices interactifs. Tu peux aussi télécharger nos fiches mémo pour avoir les formules sous la main. Si tu prépares le brevet, jette un œil à AlloBrevets pour des révisions ciblées. Et pour le bac, AlloBac t'aidera à maîtriser les probabilités.
Conclusion
Arbre ou tableau, l'important est de choisir l'outil qui rend le problème le plus clair possible. Avec de l'entraînement, tu sauras instinctivement lequel utiliser. Continue à t'exercer, les probabilités deviendront un jeu d'enfant !