Arbres de Probabilités
L'arbre de probabilités est un schéma qui permet de représenter toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Il est particulièrement utile pour visualiser et calculer des probabilités.
Définition
Un arbre de probabilités est un diagramme où chaque branche représente une issue possible, et où l'on note sur chaque branche la probabilité correspondante.
Points clés
- 1Chaque branche représente une issue possible
- 2On note la probabilité sur chaque branche
- 3La somme des probabilités partant d'un même nœud = 1
- 4P(chemin) = produit des probabilités le long du chemin
- 5P(événement) = somme des probabilités des chemins favorables
1. Qu'est-ce qu'un arbre de probabilités ?
C'est un schéma en forme d'arbre qui représente toutes les possibilités d'une expérience aléatoire.
Structure de l'arbre
• Le point de départ s'appelle la RACINE • Chaque branche représente une issue possible • Chaque point où l'arbre se divise s'appelle un NŒUD • Les extrémités sont les FEUILLES (issues finales)
Quand utiliser un arbre ?
L'arbre est utile quand l'expérience comporte plusieurs étapes successives : • 2 lancers de dé • Tirage sans remise • Succession d'épreuves
2. Construire un arbre de probabilités
Voici les règles pour construire correctement un arbre.
Étape 1 : Identifier les étapes
Déterminer combien d'étapes comporte l'expérience. Exemple : Lancer 2 fois une pièce = 2 étapes
Étape 2 : Dessiner les branches
À chaque nœud, dessiner autant de branches qu'il y a d'issues possibles. Exemple Pile/Face : 2 branches à chaque niveau
Étape 3 : Noter les probabilités
Sur chaque branche, écrire la probabilité de cette issue. Important : La somme des probabilités partant d'un même point = 1
3. Lire un arbre de probabilités
Pour calculer une probabilité à partir de l'arbre, on suit les chemins.
Règle du produit (chemin)
La probabilité d'un chemin = PRODUIT des probabilités des branches parcourues. Exemple : P(Pile puis Face) = P(P) × P(F) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Règle de la somme (événement)
La probabilité d'un événement = SOMME des probabilités des chemins qui le réalisent. Exemple : P(exactement 1 Pile) = P(PF) + P(FP) = 1/4 + 1/4 = 1/2
4. Exemple : 2 lancers de pièce
Représentons l'expérience "lancer 2 fois une pièce équilibrée".
L'arbre
1/2 → P → (P,P) P → 1/2↗ 1/2 → F → (P,F) ● 1/2↘ 1/2 → P → (F,P) F → 1/2 → F → (F,F)
Les probabilités
P(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4 P(PF) = 1/2 × 1/2 = 1/4 P(FP) = 1/2 × 1/2 = 1/4 P(FF) = 1/2 × 1/2 = 1/4 Somme = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 ✓
Calcul d'événement
P(au moins 1 Pile) = P(PP) + P(PF) + P(FP) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
5. Tirage sans remise
Quand on tire sans remettre, les probabilités changent à la 2ème étape.
Exemple
Urne avec 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire 2 boules sans remise. 1er tirage : P(R) = 3/5, P(B) = 2/5 2ème tirage après R : P(R) = 2/4, P(B) = 2/4 2ème tirage après B : P(R) = 3/4, P(B) = 1/4
Attention
Les probabilités de la 2ème étape DÉPENDENT du résultat de la 1ère ! C'est différent d'un tirage avec remise.
Méthode
Construire un arbre de probabilités
- 1Identifier le nombre d'étapes de l'expérience
- 2À chaque nœud, dessiner autant de branches que d'issues
- 3Noter la probabilité sur chaque branche
- 4Vérifier que la somme des branches de chaque nœud = 1
Calculer P(chemin)
- 1Suivre le chemin de la racine à la feuille
- 2Relever toutes les probabilités des branches
- 3MULTIPLIER toutes ces probabilités
- 4Le résultat est la probabilité du chemin
Calculer P(événement)
- 1Identifier tous les chemins qui réalisent l'événement
- 2Calculer la probabilité de chaque chemin (produit)
- 3ADDITIONNER les probabilités de ces chemins
- 4Le résultat est P(événement)
Attention - Pièges à éviter
- ⚠️La somme des branches d'un MÊME NŒUD doit faire 1
- ⚠️Attention aux tirages SANS REMISE : les probabilités changent
- ⚠️Ne pas additionner les probabilités le long d'un chemin (c'est le produit !)
- ⚠️Vérifier que la somme de toutes les feuilles = 1
Exemples
2 lancers de pièce
P(Pile puis Face)
✓ P(PF) = P(P) × P(F) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Au moins 1 pile sur 2 lancers
Somme des chemins avec au moins 1 P
✓ P = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
Exercices corrigés
Exercice 1
moyenOn lance 2 fois un dé équilibré. Utilise un arbre pour calculer P(obtenir 6 au moins une fois).
💡 Indice : Simplifie l'arbre : 2 branches par nœud (6 ou pas 6). Utilise l'événement contraire.
Exercice 2
difficileUne urne contient 4 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules sans remise. Calcule P(2 boules de la même couleur).
💡 Indice : Construis l'arbre. Attention : les probabilités de la 2ème étape dépendent de la 1ère !
📝 À retenir
- ✓Arbre = schéma des issues à plusieurs étapes
- ✓Chaque branche porte sa probabilité
- ✓Somme des branches d'un nœud = 1
- ✓P(chemin) = PRODUIT des probabilités
- ✓P(événement) = SOMME des chemins favorables