Événement Contraire
L'événement contraire est un outil puissant pour calculer certaines probabilités difficiles. Au lieu de calculer directement P(A), on calcule P(Ā) puis on fait 1 - P(Ā). C'est particulièrement utile pour les problèmes de type "au moins un...".
Définition
L'événement contraire de A, noté Ā (lire "A barre"), est l'événement "A ne se réalise pas". Il contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans A.
📐 Formule
P(Ā) = 1 - P(A) ⟺ P(A) = 1 - P(Ā)
Points clés
- 1P(A) + P(Ā) = 1 toujours
- 2Ā = "non A" = "A ne se réalise pas"
- 3P(au moins un) = 1 - P(aucun)
- 4Technique du contraire souvent plus simple que le calcul direct
1. Qu'est-ce que l'événement contraire ?
L'événement contraire de A est l'événement "A ne se réalise PAS".
Définition
Si A est un événement, alors : • Ā (lire "A barre") = "A ne se produit pas" • Ā contient toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A • A et Ā sont complémentaires dans Ω
Exemples simples
Dé à 6 faces : • A = "pair" = {2, 4, 6} → Ā = "impair" = {1, 3, 5} • B = "obtenir 6" → B̄ = "ne pas obtenir 6" = {1, 2, 3, 4, 5} • C = "≥ 4" = {4, 5, 6} → C̄ = "< 4" = {1, 2, 3}
2. La formule fondamentale
La probabilité de A et celle de son contraire sont liées par une formule simple.
La formule
P(A) + P(Ā) = 1 Donc : • P(Ā) = 1 - P(A) • P(A) = 1 - P(Ā)
Pourquoi ?
A et Ā forment une partition de Ω : • L'un des deux se réalise forcément • Les deux ne peuvent pas se réaliser en même temps Donc leurs probabilités s'additionnent pour faire 1.
Exemple
P(pair) = 3/6 = 1/2 P(impair) = P(non pair) = 1 - 1/2 = 1/2 ✓
3. La technique du contraire
Parfois, calculer P(Ā) est plus simple que calculer P(A) directement !
Quand l'utiliser ?
La technique est utile quand A a BEAUCOUP d'issues favorables. "Au moins un..." → contraire = "aucun" "Au moins 2..." → contraire = "0 ou 1" "Pas tous égaux" → contraire = "tous égaux"
Le principe
Au lieu de calculer P(A) directement : 1. Identifier l'événement contraire Ā 2. Calculer P(Ā) (souvent plus simple) 3. Conclure : P(A) = 1 - P(Ā)
4. Exemple type : "au moins un 6"
Problème classique : on lance un dé 2 fois, calculer P(au moins un 6).
Méthode directe (longue)
"Au moins un 6" = "un 6" OU "deux 6" P(6 au 1er, pas 6 au 2ème) = 1/6 × 5/6 = 5/36 P(pas 6 au 1er, 6 au 2ème) = 5/6 × 1/6 = 5/36 P(6 aux deux) = 1/6 × 1/6 = 1/36 P(au moins un 6) = 5/36 + 5/36 + 1/36 = 11/36
Méthode du contraire (rapide)
Contraire de "au moins un 6" = "aucun 6" P(aucun 6) = P(pas 6 au 1er) × P(pas 6 au 2ème) = 5/6 × 5/6 = 25/36 P(au moins un 6) = 1 - 25/36 = 11/36 ✓
Comparaison
La méthode du contraire est plus rapide car il n'y a qu'un seul cas "aucun 6", contre 3 cas pour "au moins un 6".
5. Applications fréquentes
Voici les situations où la technique du contraire est particulièrement utile.
"Au moins un..." avec répétition
P(au moins un succès en n essais) = 1 - P(aucun succès) = 1 - (P(échec))ⁿ Exemple : P(au moins un 6 en 4 lancers) = 1 - (5/6)⁴ = 1 - 625/1296 = 671/1296 ≈ 0.52
"Pas tous identiques"
P(pas tous égaux) = 1 - P(tous égaux) Exemple : 3 lancers de pièce P(pas tous identiques) = 1 - P(PPP) - P(FFF) = 1 - 1/8 - 1/8 = 6/8 = 3/4
Méthode
Utiliser la technique du contraire
- 1Identifier l'événement A dont on cherche la probabilité
- 2Formuler l'événement contraire Ā ("A ne se produit pas")
- 3Vérifier si P(Ā) est plus simple à calculer que P(A)
- 4Si oui, calculer P(Ā)
- 5Conclure avec P(A) = 1 - P(Ā)
Traduire "au moins" en contraire
- 1"Au moins 1" → contraire = "aucun" (0)
- 2"Au moins 2" → contraire = "0 ou 1"
- 3"Au moins k" → contraire = "moins de k"
- 4Calculer P(contraire) puis faire 1 - P(contraire)
Attention - Pièges à éviter
- ⚠️Ne pas confondre Ā et A ! Ce sont des événements opposés
- ⚠️Le contraire de "pair" n'est pas "impair pair" mais "impair"
- ⚠️Le contraire de "au moins 2" n'est pas "au plus 2" mais "0 ou 1"
- ⚠️Toujours vérifier que P(A) + P(Ā) = 1
Exemples
Au moins un 6 (2 lancers)
P(au moins un 6 en 2 lancers)
✓ 1 - P(aucun 6) = 1 - (5/6)² = 11/36
Au moins un 6 (3 lancers)
P(au moins un 6 en 3 lancers)
✓ 1 - (5/6)³ = 91/216
Exercices corrigés
Exercice 1
facileOn lance un dé équilibré 3 fois. Calcule la probabilité d'obtenir AU MOINS UN 6.
💡 Indice : Utilise la technique du contraire. P(aucun 6) = (5/6)³.
Exercice 2
moyenOn lance une pièce 4 fois. Quelle est la probabilité de ne PAS obtenir 4 fois le même résultat ?
💡 Indice : L'événement contraire de "pas 4 fois le même" est "4 fois le même" = PPPP ou FFFF.
Exercice 3
difficileUn sac contient 5 bonbons dont 2 à la fraise. On tire 3 bonbons avec remise. Quelle est la probabilité d'avoir AU MOINS UN bonbon à la fraise ?
💡 Indice : P(fraise) = 2/5, donc P(pas fraise) = 3/5. Utilise le contraire avec 3 tirages.
📝 À retenir
- ✓Ā = "A ne se réalise pas" = contraire de A
- ✓P(A) + P(Ā) = 1 toujours
- ✓P(A) = 1 - P(Ā)
- ✓"Au moins un" → contraire = "aucun"
- ✓Technique utile quand P(Ā) est plus simple que P(A)