Calcul de Probabilités
La probabilité est un nombre qui mesure les "chances" qu'un événement se produise. Plus ce nombre est proche de 1, plus l'événement a de chances de se réaliser. Plus il est proche de 0, moins il a de chances.
Définition
La probabilité d'un événement A, notée P(A), est le nombre qui mesure la chance que l'événement A se réalise. Ce nombre est toujours compris entre 0 et 1.
📐 Formule
P(A) = Nombre d'issues favorables à A / Nombre total d'issues de l'univers
Points clés
- 10 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A
- 2P(événement certain) = 1 (il se réalise toujours)
- 3P(événement impossible) = 0 (il ne se réalise jamais)
- 4La somme des probabilités de toutes les issues = 1
- 5Équiprobabilité : situation où toutes les issues ont la même probabilité
1. Qu'est-ce qu'une probabilité ?
La probabilité est une mesure mathématique des chances qu'un événement se produise. C'est un nombre entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%).
Interprétation du nombre
P(A) = 0 → A est IMPOSSIBLE (0% de chance) P(A) = 0.5 → A a 1 chance sur 2 (50%) P(A) = 1 → A est CERTAIN (100% de chance) Plus P(A) est proche de 1, plus A est probable.
Notation
On note P(A) la probabilité de l'événement A. • P se lit "probabilité de" • Exemple : P(pair) = "probabilité d'obtenir un nombre pair"
2. Situation d'équiprobabilité
On parle d'équiprobabilité quand toutes les issues d'une expérience ont EXACTEMENT la même probabilité de se produire.
Définition
Une situation est équiprobable si chaque issue a la même chance de se produire. Exemple : Dé équilibré → chaque face a 1 chance sur 6.
Exemples d'équiprobabilité
• Dé équilibré : P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 • Pièce équilibrée : P(Pile) = P(Face) = 1/2 • Tirage au sort dans une urne (boules identiques sauf couleur)
Contre-exemples
• Dé pipé : certaines faces apparaissent plus souvent • Tirage de boules de tailles différentes • Météo : il ne fait pas "beau" ou "mauvais" avec la même fréquence
3. Formule de calcul (équiprobabilité)
Dans une situation d'équiprobabilité, calculer une probabilité revient à compter les issues favorables et à diviser par le nombre total d'issues.
La formule fondamentale
P(A) = Nombre d'issues favorables à A / Nombre total d'issues = card(A) / card(Ω) où card = "cardinal" = nombre d'éléments
Exemple détaillé
Dé à 6 faces, A = "obtenir un multiple de 3" • Univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues • Issues favorables : 3 et 6 → 2 issues • P(A) = 2/6 = 1/3 ≈ 0.333 ou 33.3%
4. Propriétés des probabilités
Quelques règles fondamentales à connaître pour vérifier ses calculs.
Bornes
Pour tout événement A : 0 ≤ P(A) ≤ 1 Si tu trouves une probabilité négative ou supérieure à 1, tu t'es trompé !
Événements particuliers
P(Ω) = 1 (l'univers est certain) P(∅) = 0 (l'ensemble vide est impossible)
Somme des probabilités
La somme des probabilités de TOUTES les issues = 1 Dé : P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 × 6 = 1 ✓
5. Exprimer une probabilité
Une probabilité peut s'exprimer de plusieurs façons.
Sous forme de fraction
P(pair) = 3/6 = 1/2 C'est souvent la forme la plus exacte.
Sous forme décimale
P(pair) = 0.5 Pratique pour comparer des probabilités.
Sous forme de pourcentage
P(pair) = 50% La plus parlante au quotidien.
Méthode
Calculer une probabilité (équiprobabilité)
- 1Vérifier qu'on est en situation d'équiprobabilité
- 2Écrire l'univers Ω et compter le nombre total d'issues
- 3Identifier les issues favorables à l'événement A
- 4Compter le nombre d'issues favorables
- 5Appliquer : P(A) = (issues favorables) / (issues totales)
- 6Simplifier la fraction si possible
Vérifier son résultat
- 1La probabilité est-elle entre 0 et 1 ? (sinon erreur !)
- 2La fraction est-elle simplifiée ?
- 3Le résultat est-il cohérent avec l'intuition ?
Attention - Pièges à éviter
- ⚠️La formule P(A) = favorables/total ne marche QUE en équiprobabilité !
- ⚠️Ne pas confondre "au moins" et "exactement" : P(au moins 5) ≠ P(exactement 5)
- ⚠️Toujours vérifier que 0 ≤ P(A) ≤ 1
- ⚠️Une probabilité n'est JAMAIS supérieure à 1 ni négative
Exemples
Probabilité d'un 6
1 cas favorable sur 6 possibles
✓ P(6) = 1/6 ≈ 0.167 ou 16.7%
Probabilité d'un pair
3 cas favorables (2,4,6) sur 6
✓ P(pair) = 3/6 = 1/2 = 50%
Exercices corrigés
Exercice 1
facileOn lance un dé équilibré à 6 faces. Calcule : a) P(obtenir 4) b) P(obtenir un nombre ≥ 5) c) P(obtenir un nombre premier)
💡 Indice : Les nombres premiers ≤ 6 sont 2, 3 et 5. Le nombre 1 n'est pas premier !
Exercice 2
moyenUne urne contient 3 boules rouges, 4 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard. Calcule : a) P(rouge) b) P(bleue) c) P(rouge ou verte)
💡 Indice : Compte d'abord le nombre total de boules. Les boules sont indiscernables au toucher donc équiprobabilité.
Exercice 3
difficileOn lance deux pièces équilibrées (une pièce de 1€ et une de 2€). Calcule la probabilité d'obtenir exactement une face "Pile".
💡 Indice : Écris d'abord l'univers avec toutes les issues possibles. Attention : (Pile,Face) ≠ (Face,Pile) car les pièces sont différentes.
📝 À retenir
- ✓PROBABILITÉ = nombre entre 0 et 1 mesurant les chances
- ✓Équiprobabilité : toutes les issues ont la même probabilité
- ✓Formule : P(A) = (issues favorables) / (total issues)
- ✓P(certain) = 1, P(impossible) = 0
- ✓Somme de toutes les probabilités = 1