Simulation avec Tableur
La simulation permet de vérifier expérimentalement des résultats probabilistes grâce à l'ordinateur. On répète l'expérience des centaines ou milliers de fois, et on observe que la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
Définition
Simuler une expérience aléatoire, c'est reproduire cette expérience à l'aide d'un programme informatique ou d'un tableur, en utilisant des nombres aléatoires.
Points clés
- 1ALEA() génère un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1
- 2ENT() ou PLANCHER() donne la partie entière d'un nombre
- 3La fréquence se rapproche de la probabilité quand n augmente
- 4Loi des grands nombres : fréquence → probabilité
1. Pourquoi simuler ?
La simulation permet de vérifier des calculs de probabilités et de comprendre le comportement aléatoire sur un grand nombre d'expériences.
Avantages de la simulation
• Rapide : on peut faire 10 000 lancers en quelques secondes • Pas d'erreur : l'ordinateur ne se trompe pas dans les calculs • Visualisation : on peut voir l'évolution des fréquences • Vérification : on peut comparer avec les probabilités théoriques
Lien avec la probabilité
Plus on répète l'expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Exemple : En lançant un dé 6000 fois, on obtient environ 1000 fois chaque face (≈ 1/6).
2. La fonction ALEA()
La fonction ALEA() est la base de toute simulation. Elle génère un nombre aléatoire entre 0 et 1.
Comportement de ALEA()
ALEA() donne un nombre décimal comme : • 0.123456... • 0.987654... • 0.500123... Ce nombre peut être n'importe quelle valeur entre 0 (inclus) et 1 (exclu).
Remarque importante
Chaque fois que tu recalcules (touche F9), ALEA() donne un nouveau nombre aléatoire. C'est normal, c'est le principe !
3. Simuler un dé à 6 faces
Pour simuler un dé, on transforme le nombre aléatoire entre 0 et 1 en un entier entre 1 et 6.
La formule magique
=ENT(ALEA()*6)+1 Explication : • ALEA() → nombre entre 0 et 0.999... • ALEA()*6 → nombre entre 0 et 5.999... • ENT(...) → partie entière : 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 • +1 → résultat final : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Généralisation
Pour simuler un entier entre 1 et N : =ENT(ALEA()*N)+1 • Dé 6 faces : =ENT(ALEA()*6)+1 • Dé 10 faces : =ENT(ALEA()*10)+1 • Nombre entre 1 et 100 : =ENT(ALEA()*100)+1
4. Simuler Pile ou Face
Pour simuler une pièce, on a besoin de 2 résultats possibles.
Méthode simple avec SI()
=SI(ALEA()<0.5;"Pile";"Face") • Si ALEA() < 0.5 → "Pile" (50% de chance) • Si ALEA() ≥ 0.5 → "Face" (50% de chance)
Méthode avec entiers
=ENT(ALEA()*2) • Donne 0 ou 1 • 0 = Pile, 1 = Face (ou l'inverse)
5. Compter et calculer la fréquence
Après simulation, on compte les résultats et on calcule les fréquences.
Fonction NB.SI()
=NB.SI(plage;critère) Compte le nombre de cellules qui contiennent le critère. Exemple : =NB.SI(A1:A100;6) → Compte combien de 6 parmi les 100 lancers
Calcul de la fréquence
Fréquence = Effectif / Nombre total =NB.SI(A1:A100;6)/100 → Fréquence d'apparition du 6
6. La loi des grands nombres
Plus on répète l'expérience, plus la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité théorique.
Observation
• 10 lancers : fréquence très variable (ex: 0.1, 0.3, 0.2...) • 100 lancers : fréquence plus stable (ex: 0.14, 0.18, 0.16...) • 1000 lancers : fréquence proche de 1/6 ≈ 0.167 • 10000 lancers : fréquence très proche de 0.167
Conclusion
La LOI DES GRANDS NOMBRES dit que : Quand n → +∞, fréquence → probabilité C'est pour cela que la simulation fonctionne !
Méthode
Créer une simulation de dé
- 1Ouvrir un tableur (Excel, LibreOffice, Google Sheets)
- 2Dans la cellule A1, taper : =ENT(ALEA()*6)+1
- 3Copier la formule vers le bas (ex: jusqu'à A1000)
- 4Dans une cellule, compter les 6 : =NB.SI(A1:A1000;6)
- 5Calculer la fréquence : =NB.SI(A1:A1000;6)/1000
- 6Comparer avec P(6) = 1/6 ≈ 0.167
Simuler un tirage dans une urne
- 1Identifier le nombre total de boules : n
- 2Utiliser =ENT(ALEA()*n)+1 pour un numéro de boule
- 3Avec SI() imbriqués, associer les numéros aux couleurs
- 4Ex: 1-3 = Rouge, 4-7 = Bleu, 8-9 = Vert
Attention - Pièges à éviter
- ⚠️ALEA() change à chaque recalcul ! C'est normal, ne pas s'inquiéter
- ⚠️La fréquence n'est JAMAIS exactement égale à la probabilité
- ⚠️Plus n est grand, plus la fréquence est proche de la probabilité
- ⚠️Ne pas confondre ENT() (partie entière) et ARRONDI()
Exemples
Simuler un dé
ALEA() donne un nombre entre 0 et 1
✓ =ENT(ALEA()*6)+1 donne 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Pile ou Face
2 résultats possibles
✓ =SI(ALEA()<0.5;"Pile";"Face")
Exercices corrigés
Exercice 1
facileQuelle formule permet de simuler un dé à 10 faces (numérotées de 1 à 10) ?
💡 Indice : Adapte la formule du dé à 6 faces en changeant le multiplicateur.
Exercice 2
moyenOn simule 500 lancers de dé. La formule =NB.SI(A1:A500;6) renvoie 78. Calcule la fréquence d'apparition du 6 et compare avec la probabilité théorique.
💡 Indice : Fréquence = effectif / total. La probabilité théorique P(6) = 1/6.
Exercice 3
difficileUne urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. Écris une formule tableur pour simuler un tirage et afficher "Rouge" ou "Bleu".
💡 Indice : Il y a 10 boules au total. Les boules 1 à 4 peuvent être rouges, les boules 5 à 10 bleues.
📝 À retenir
- ✓ALEA() génère un nombre aléatoire entre 0 et 1
- ✓Dé : =ENT(ALEA()*6)+1
- ✓Généralisation : =ENT(ALEA()*N)+1 pour un entier de 1 à N
- ✓NB.SI() compte les occurrences
- ✓Loi des grands nombres : fréquence → probabilité quand n → ∞