Tu passes bientôt le brevet et tu veux sécuriser tes points en probabilités ? Bonne nouvelle : c'est l'un des chapitres les plus rentables de l'épreuve de maths. Les exercices sont souvent courts, bien guidés, et la méthode est toujours la même. Avec un peu de rigueur, tu peux viser les points pleins. Dans cet article, on revoit ensemble tout ce qu'il faut savoir sur les probabilités brevet : la formule de base, l'arbre pondéré, les pièges classiques et un exemple entièrement corrigé. Prêt ? C'est parti !
1. Qu'est-ce qu'une probabilit�� ?
Une probabilité, c'est un nombre qui mesure la chance qu'un événement se produise. Elle est toujours comprise entre 0 et 1 :
- Une probabilité de 0 signifie que l'événement est impossible.
- Une probabilité de 1 signifie que l'événement est certain.
- Une probabilité de 0,5 (ou 1/2) signifie qu'il y a une chance sur deux.
On note souvent P(A) la probabilité de l'événement A. Par exemple, si tu lances une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir « pile » est P(pile) = 1/2 = 0,5.
L'équiprobabilité : l'hypothèse à vérifier
Quand toutes les issues possibles ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité. C'est le cas d'un dé non truqué, d'une pièce équilibrée ou d'une roue bien partagée. Dans ce cas seulement, on peut utiliser la formule :
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
Attention : avant d'appliquer cette formule, demande-toi toujours si les issues sont équiprobables. Si le dé est truqué, la formule ne s'applique pas !
Événement contraire
L'événement contraire de A, noté « non A » ou « A barre », est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas. Sa probabilité se calcule facilement :
P(non A) = 1 − P(A)
Exemple : si la probabilité qu'il pleuve demain est de 0,3, alors la probabilité qu'il ne pleuve pas est de 1 − 0,3 = 0,7.
2. Les méthodes pour calculer une probabilité
Méthode 1 : le tableau ou le dénombrement
Pour un lancer de dé à 6 faces, l'univers est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si tu cherches la probabilité d'obtenir un nombre pair, les cas favorables sont {2, 4, 6}, soit 3 cas. Les cas possibles sont 6. Donc P(pair) = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Pour deux dés, on peut faire un tableau à double entrée : 6 × 6 = 36 issues équiprobables. C'est très visuel et ça évite les oublis.
Méthode 2 : l'arbre pondéré
L'arbre pondéré est l'outil roi au brevet. Il sert quand il y a plusieurs étapes (par exemple, tirer deux boules successivement). Voici comment le construire :
- Étape 1 : identifie les étapes de l'expérience (tirage 1, tirage 2…).
- Étape 2 : pour chaque étape, dessine une branche par issue possible.
- Étape 3 : écris sur chaque branche la probabilité correspondante.
- Étape 4 : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches.
- Étape 5 : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui réalisent cet événement.
Règle d'or : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.
Méthode 3 : avec ou sans remise ?
Dans un tirage avec remise, on remet l'objet tiré dans l'urne avant le tirage suivant : les probabilités restent les mêmes à chaque étape. Dans un tirage sans remise, on ne remet pas l'objet : les probabilités changent. C'est le piège numéro 1 au brevet ! Lis bien l'énoncé : « on tire une boule, on la garde » = sans remise ; « on tire une boule, on la remet » = avec remise.
3. Exemple concret entièrement corrigé
Énoncé : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes ?
Étape 1 : comprendre l'expérience. Il y a deux tirages sans remise. L'univers des possibles peut être représenté par un arbre.
Étape 2 : construire l'arbre.
Premier tirage : 5 boules au total (3 rouges, 2 bleues).
- P(R1) = 3/5
- P(B1) = 2/5
Deuxième tirage : il reste 4 boules.
- Si on a tiré une rouge : il reste 2 rouges et 2 bleues. Donc P(R2 sachant R1) = 2/4 = 1/2 et P(B2 sachant R1) = 2/4 = 1/2.
- Si on a tiré une bleue : il reste 3 rouges et 1 bleue. Donc P(R2 sachant B1) = 3/4 et P(B2 sachant B1) = 1/4.
Étape 3 : calculer la probabilité de chaque chemin.
- Chemin R puis R : 3/5 × 1/2 = 3/10 = 0,3
- Chemin R puis B : 3/5 × 1/2 = 3/10 = 0,3
- Chemin B puis R : 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10 = 0,3
- Chemin B puis B : 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10 = 0,1
Vérification : 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,1 = 1. La somme des probabilités de tous les chemins vaut bien 1.
Étape 4 : répondre à la question. On veut deux couleurs différentes : chemins R puis B et B puis R.
P(couleurs différentes) = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6.
La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est de 0,6, soit 60 %.
4. Conseils de méthode pour le jour J
- Lis l'énoncé deux fois. Repère s'il y a remise ou non, et combien d'étapes.
- Fais un arbre dès qu'il y a plusieurs tirages. C'est plus sûr qu'un calcul de tête.
- Vérifie que la somme des probabilités fait 1. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.
- Simplifie les fractions et donne le résultat sous forme décimale si demandé.
- N'oublie pas l'événement contraire : parfois, calculer P(non A) est plus rapide.
Pour t'entraîner, va faire un tour sur les exercices de probabilités et sur les fiches de révision. Tu peux aussi consulter la page collège pour revoir les bases. Et si tu veux préparer le brevet en globalité, jette un œil à AlloBrevet.
5. Conclusion
Les probabilités au brevet, c'est un chapitre accessible si tu appliques la méthode : équiprobabilité, arbre pondéré, produit le long des branches, somme des chemins. Avec un peu de pratique, tu verras que les exercices se ressemblent. Alors, entraîne-toi régulièrement, refais les annales, et le jour du DNB, tu seras serein. Tu as toutes les cartes en main !