Événements
Un événement, c'est ce qu'on cherche à obtenir lors d'une expérience aléatoire. Par exemple : "obtenir un 6", "tirer une carte rouge", "obtenir un nombre pair"... Apprenons à bien les définir !
Définition
Un événement est une partie de l'univers Ω, c'est-à-dire un ensemble d'issues. Un événement se réalise si l'issue obtenue fait partie de cet ensemble.
Points clés
- 1Événement = ensemble d'issues (partie de Ω)
- 2Événement élémentaire = contient UNE seule issue
- 3Événement certain = contient TOUTES les issues (se réalise toujours)
- 4Événement impossible = ne contient AUCUNE issue (∅)
- 5Événement contraire de A (noté Ā) = toutes les issues SAUF celles de A
1. Définition d'un événement
Un événement est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il regroupe une ou plusieurs issues qui partagent une caractéristique commune.
Notation
On note un événement par une lettre majuscule : A, B, C... On le décrit en français puis on liste ses issues. Exemple avec un dé : A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}
L'événement se réalise quand...
Un événement A se réalise si l'issue obtenue appartient à A. Exemple : Si A = {2, 4, 6} et qu'on obtient 4, alors A est réalisé car 4 ∈ A.
2. Types d'événements
Il existe plusieurs types d'événements à bien distinguer.
Événement élémentaire
Un événement est élémentaire s'il ne contient qu'UNE seule issue. Exemple : A = "obtenir un 3" = {3} C'est élémentaire (1 seule issue).
Événement certain
Un événement est certain s'il contient TOUTES les issues de l'univers. Il se réalise à coup sûr. Exemple : "Obtenir un nombre entre 1 et 6" avec un dé = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω (certain)
Événement impossible
Un événement est impossible s'il ne contient AUCUNE issue. Il ne peut jamais se réaliser. On le note ∅ (ensemble vide). Exemple : "Obtenir 7 avec un dé à 6 faces" = ∅
3. Événement contraire
L'événement contraire de A, noté Ā (lire "A barre"), contient toutes les issues qui ne sont PAS dans A.
Définition
Ā = "A ne se réalise pas" Ā contient les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
Exemples
Dé à 6 faces : • A = "pair" = {2, 4, 6} Ā = "impair" = {1, 3, 5} • B = "obtenir 6" = {6} B̄ = "ne pas obtenir 6" = {1, 2, 3, 4, 5} • C = "obtenir au moins 4" = {4, 5, 6} C̄ = "obtenir moins de 4" = {1, 2, 3}
Propriété fondamentale
A et Ā sont toujours complémentaires : • L'un des deux se réalise forcément • Les deux ne peuvent pas se réaliser en même temps • P(A) + P(Ā) = 1
4. Opérations sur les événements
On peut combiner des événements avec des opérations.
Réunion A ∪ B
A ∪ B = "A OU B" = "au moins l'un des deux" Contient les issues qui sont dans A ou dans B (ou les deux). Exemple : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}
Intersection A ∩ B
A ∩ B = "A ET B" = "les deux en même temps" Contient les issues qui sont dans A ET dans B. Exemple : A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} A ∩ B = {2}
Événements incompatibles
A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ C'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Exemple : "pair" et "impair" sont incompatibles.
Méthode
Définir un événement
- 1Écrire l'univers Ω de l'expérience
- 2Décrire l'événement en français
- 3Lister toutes les issues qui correspondent
- 4Écrire l'événement sous forme d'ensemble : A = {...}
Trouver l'événement contraire
- 1Identifier l'événement A et ses issues
- 2Lister TOUTES les issues de Ω
- 3Retirer de Ω les issues de A
- 4Ce qui reste = Ā
Attention - Pièges à éviter
- ⚠️Ne pas confondre ISSUE (un résultat) et ÉVÉNEMENT (un ensemble de résultats)
- ⚠️"Obtenir au moins 4" signifie 4 OU PLUS (inclut le 4)
- ⚠️"Obtenir au plus 3" signifie 3 OU MOINS (inclut le 3)
- ⚠️L'événement contraire de "pair" n'est pas "impair pair" mais "impair"
Exemples
Événement avec un dé
A = "obtenir un nombre pair"
✓ A = {2, 4, 6} Ā = {1, 3, 5} (impair)
Événement impossible
Obtenir 8 avec un dé à 6 faces
✓ C'est impossible car 8 ∉ Ω Événement = ∅
Exercices corrigés
Exercice 1
facileOn lance un dé à 6 faces. Décris sous forme d'ensemble les événements suivants : a) A = "obtenir un multiple de 3" b) B = "obtenir un nombre strictement supérieur à 4" c) C = "obtenir un nombre premier"
💡 Indice : Les multiples de 3 ≤ 6 sont 3 et 6. Les nombres premiers ≤ 6 sont 2, 3 et 5.
Exercice 2
moyenAvec un dé à 6 faces : • A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6} • B = "obtenir un nombre ≤ 3" = {1, 2, 3} a) Donne l'événement contraire Ā b) Calcule A ∩ B c) Calcule A ∪ B
💡 Indice : Ā = issues qui ne sont pas dans A. A ∩ B = issues communes. A ∪ B = toutes les issues de A et B.
Exercice 3
difficileOn tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A = "tirer un as" et B = "tirer un cœur". a) A et B sont-ils incompatibles ? Justifie. b) Décris A ∩ B en français.
💡 Indice : A et B sont incompatibles si leur intersection est vide. Existe-t-il une carte qui est à la fois un as ET un cœur ?
📝 À retenir
- ✓ÉVÉNEMENT = partie de l'univers Ω (ensemble d'issues)
- ✓Élémentaire = 1 seule issue
- ✓Certain = Ω (toujours réalisé)
- ✓Impossible = ∅ (jamais réalisé)
- ✓Contraire Ā = "non A" = issues qui ne sont pas dans A
- ✓A ∩ B = "A ET B", A ∪ B = "A OU B"