Tu as déjà vu un énoncé de probabilité avec plusieurs étapes : « on tire une boule, puis une deuxième », « on lance une pièce, puis un dé »... Et là, tu ne sais pas par où commencer ? L'arbre de probabilité (aussi appelé arbre pondéré) est l'outil visuel qui va te sauver. Il transforme un problème compliqué en une suite de petites étapes simples. Dans cet article, on t'explique comment le construire, le lire et l'utiliser pour calculer n'importe quelle probabilité. Que tu sois au collège ou au lycée, tu vas voir, c'est plus simple qu'il n'y paraît.
Pourquoi utiliser un arbre de probabilité ?
Quand une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il est facile de s'embrouiller. L'arbre de probabilité permet de représenter toutes les issues possibles et de calculer leurs probabilités sans rien oublier. Il est particulièrement utile pour :
- les tirages successifs (avec ou sans remise) ;
- les expériences à deux épreuves (lancer une pièce puis un dé) ;
- les probabilités conditionnelles (au lycée).
Bref, dès qu'il y a plusieurs étapes, pense « arbre » !
Comment construire un arbre pondéré étape par étape
Un arbre pondéré est un schéma qui part d'un point de départ (la racine) et se ramifie à chaque étape. Chaque branche représente une issue possible, et on écrit sur la branche la probabilité correspondante.
Étape 1 : identifier les étapes de l'expérience
Par exemple, on lance une pièce équilibrée, puis on tire une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules vertes.
Étape 2 : dessiner les branches pour la première étape
La première étape a deux issues : Pile (P) et Face (F). On trace deux branches partant de la racine, et on écrit 1/2 sur chacune (car la pièce est équilibrée).
Étape 3 : ajouter les branches pour la deuxième étape
Pour chaque issue de la première étape, on ajoute les issues de la deuxième. Ici, on peut tirer une boule Rouge (R) ou Verte (V). Attention : si le tirage est sans remise, les probabilités changent selon ce qui a été tiré avant. Mais dans notre exemple, le tirage se fait dans la même urne, donc les probabilités restent 2/5 pour R et 3/5 pour V, quelle que soit la face de la pièce.
Étape 4 : vérifier que la somme des probabilités de chaque nœud vaut 1
À chaque nœud (sauf les feuilles), la somme des probabilités des branches qui partent doit être égale à 1. C'est une règle d'or : 1/2 + 1/2 = 1, et 2/5 + 3/5 = 1.
Comment calculer une probabilité avec un arbre pondéré
Pour trouver la probabilité d'un chemin (une issue complète), on multiplie les probabilités rencontrées le long des branches. Pour trouver la probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
Exemple : la probabilité d'obtenir Pile puis Rouge est (1/2) × (2/5) = 2/10 = 1/5.
La probabilité d'obtenir une boule rouge (peu importe la pièce) est la somme des chemins Puis Rouge et Face puis Rouge : (1/2 × 2/5) + (1/2 × 2/5) = 2/10 + 2/10 = 4/10 = 2/5. On retrouve bien la probabilité de tirer une rouge, ce qui est rassurant.
Exemple concret entièrement corrigé
Énoncé : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une deuxième boule. Calcule la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
Correction :
- Premier tirage : P(Rouge) = 3/5, P(Bleue) = 2/5.
- Deuxième tirage : comme on remet la boule, les probabilités sont les mêmes : P(Rouge) = 3/5, P(Bleue) = 2/5.
On construit l'arbre :
- R puis R : 3/5 × 3/5 = 9/25
- R puis B : 3/5 × 2/5 = 6/25
- B puis R : 2/5 × 3/5 = 6/25
- B puis B : 2/5 × 2/5 = 4/25
L'événement « deux boules de couleurs différentes » correspond aux chemins R puis B et B puis R. Donc P = 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0,48.
Vérification : la somme des probabilités de tous les chemins vaut 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1. C'est bon !
Arbre pondéré au lycée : probabilités conditionnelles
Au lycée, l'arbre de probabilité devient un outil indispensable pour les probabilités conditionnelles. On note P(A|B) ou P_B(A) la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé. Sur un arbre, cela se lit directement : la probabilité portée sur une branche de deuxième niveau est une probabilité conditionnelle.
Par exemple, si on sait que la première boule tirée est rouge, la probabilité de tirer une bleue ensuite (sans remise) est P(Rouge puis Bleue) = P(Rouge) × P(Bleue sachant Rouge).
La formule des probabilités totales se traduit par : la probabilité d'un événement B est la somme des probabilités des chemins qui mènent à B. C'est exactement ce qu'on fait en additionnant les branches.
Conseils de méthode et pièges à éviter
- Vérifie l'équiprobabilité : avant d'écrire des fractions, assure-toi que chaque issue a la même chance de se produire. Par exemple, lancer un dé équilibré, oui ; tirer une boule d'une urne où les boules ne sont pas identiques, non.
- Distingue avec et sans remise : avec remise, les probabilités restent les mêmes à chaque étape ; sans remise, elles changent.
- N'oublie pas de simplifier les fractions à la fin, et vérifie que ta probabilité est bien entre 0 et 1.
- Relis l'énoncé : parfois, il faut calculer la probabilité de l'événement contraire, plus simple. Par exemple, P(au moins un) = 1 − P(aucun).
Pour t'entraîner, tu peux consulter nos exercices corrigés et nos fiches mémo. Et si tu veux réviser d'autres matières, va faire un tour sur AlloBrevet ou AlloBac.
Conclusion
L'arbre de probabilité est un outil visuel puissant qui te permet de décomposer n'importe quel problème en étapes simples. Avec la règle « multiplication le long des branches, addition entre les chemins », tu peux calculer des probabilités sans stress. Alors, la prochaine fois que tu vois un énoncé avec plusieurs étapes, prends une feuille, dessine ton arbre, et lance-toi ! Pour aller plus loin, n'hésite pas à jouer avec nos jeux de probabilités interactifs.