Tu as déjà lancé un dé et voulu calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair ou un nombre impair ? Dans ce cas, les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps : on dit qu'ils sont incompatibles. Cette notion est super utile pour simplifier les calculs de probabilités. Dans cet article, on va voir ensemble ce que sont les événements incompatibles, comment les reconnaître et les utiliser dans tes exercices.
Qu'est-ce qu'un événement incompatible ?
En probabilités, un événement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire. Par exemple, lancer un dé : l'événement A = "obtenir un 2" est composé d'une seule issue, tandis que l'événement B = "obtenir un nombre pair" contient les issues 2, 4, 6.
Deux événements sont dits incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, ils n'ont aucune issue en commun. Mathématiquement, on note : A ∩ B = ∅ (l'intersection est vide).
Exemple classique : lancer un dé équilibré à 6 faces.
- Événement A : "obtenir un nombre pair" (issues : 2, 4, 6)
- Événement B : "obtenir un nombre impair" (issues : 1, 3, 5)
Ces deux événements sont incompatibles car aucune issue n'est à la fois paire et impaire. Par contre, l'événement C : "obtenir un multiple de 2" (2, 4, 6) et l'événement D : "obtenir un multiple de 3" (3, 6) ne sont pas incompatibles car l'issue 6 est commune.
Comment calculer la probabilité de deux événements incompatibles ?
Quand deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre se réalise est simplement la somme de leurs probabilités :
P(A ou B) = P(A) + P(B)
C'est la formule clé à retenir. Attention : si les événements ne sont pas incompatibles, il faut utiliser la formule générale : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B).
Voyons un exemple concret.
Exemple 1 : tirage d'une carte
Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Soit A = "tirer un roi" et B = "tirer un cœur".
- P(A) = 4/32 = 1/8 (il y a 4 rois)
- P(B) = 8/32 = 1/4 (il y a 8 cœurs)
Sont-ils incompatibles ? Non, car il existe un roi de cœur (issue commune). Donc pour calculer P(A ou B), on ne peut pas simplement additionner. Il faut compter les issues favorables : roi de cœur, roi de pique, roi de trèfle, roi de carreau, et tous les cœurs sauf le roi déjà compté. Soit 4 + 7 = 11 issues favorables. Donc P(A ou B) = 11/32.
Si on avait pris A = "tirer un roi" et C = "tirer un 7", alors A et C sont incompatibles (aucune carte n'est à la fois roi et 7). Alors P(A ou C) = 4/32 + 4/32 = 8/32 = 1/4.
Méthode étape par étape pour utiliser les événements incompatibles
Voici comment procéder dans un exercice :
- Identifier les événements : lis bien l'énoncé et note les événements en jeu.
- Vérifier s'ils sont incompatibles : regarde s'ils peuvent se produire en même temps. Si oui, ils ne le sont pas.
- Appliquer la formule adaptée :
- Si incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B)
- Sinon : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B)
- Calculer les probabilités : utilise le nombre de cas favorables sur le nombre total de cas possibles (si équiprobabilité).
Un conseil : un arbre de probabilités peut t'aider à visualiser les issues et à vérifier l'incompatibilité.
Exemple corrigé complet
Énoncé : On lance un dé à 6 faces équilibré. Soit A = "obtenir un nombre inférieur ou égal à 2" et B = "obtenir un nombre supérieur ou égal à 5".
Question : Calculer P(A ou B).
Solution :
- A = {1, 2} donc P(A) = 2/6 = 1/3
- B = {5, 6} donc P(B) = 2/6 = 1/3
- A et B n'ont aucune issue commune (1,2 d'un côté, 5,6 de l'autre) : ils sont incompatibles.
- Donc P(A ou B) = 1/3 + 1/3 = 2/3.
On peut vérifier en comptant les issues favorables : {1,2,5,6} → 4 issues sur 6, soit 2/3. C'est bon.
Attention aux pièges : incompatibles vs indépendants
Ne confonds pas incompatibles et indépendants. Deux événements indépendants sont ceux dont la réalisation de l'un n'influe pas sur la probabilité de l'autre. Par exemple, lancer deux dés : le résultat du premier dé n'affecte pas celui du second. Des événements incompatibles, eux, ne peuvent pas se produire en même temps. Ils sont donc forcément dépendants (si l'un se réalise, l'autre ne peut pas). Retiens bien :
- Incompatibles → intersection vide → P(A et B) = 0
- Indépendants → P(A et B) = P(A) × P(B)
Entraîne-toi avec des exercices
Pour maîtriser les événements incompatibles, rien de tel que la pratique. Rends-toi sur notre page d'exercices pour t'entraîner avec des corrections détaillées. Tu peux aussi consulter nos fiches mémo pour retenir les formules essentielles. Et pour apprendre en t'amusant, teste nos jeux de probabilités.
Si tu prépares le brevet, jette un œil à AlloBrevêt pour des ressources adaptées. Pour le bac, AlloBac t'attend.
Conclusion
Les événements incompatibles sont une notion simple mais essentielle en probabilités. Dès que tu identifies que deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, tu peux additionner leurs probabilités sans te tromper. Avec un peu de pratique, tu les repéreras en un clin d'œil. Alors, à toi de jouer !