Tu as déjà calculé la probabilité de tirer un roi dans un jeu de 32 cartes, ou d'obtenir un 6 avec un dé. Mais que se passe-t-il si on te dit : « on a déjà tiré une carte rouge, quelle est la probabilité que ce soit un roi ? » Là, tout change. On ne travaille plus sur l'univers entier, mais sur une partie de l'univers. C'est exactement ce qu'on appelle une probabilité conditionnelle. Dans cet article, on va décortiquer la notion, voir la formule, apprendre à l'utiliser avec un arbre pondéré, et surtout éviter les pièges classiques. Prêt ? C'est parti !
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?
Imagine une urne contenant 5 boules rouges et 3 boules bleues, toutes numérotées : les rouges portent les numéros 1 à 5, les bleues les numéros 1 à 3. On tire une boule au hasard.
La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1 est de 2/8 (la rouge n°1 et la bleue n°1). Facile.
Maintenant, on te dit : « la boule tirée est rouge ». Cette information change tout ! On sait déjà que le tirage s'est fait parmi les 5 boules rouges. La question devient : parmi ces 5 boules rouges, combien portent le numéro 1 ? Une seule. Donc la probabilité que la boule soit numéro 1 sachant qu'elle est rouge vaut 1/5.
Voilà l'idée centrale : une probabilité conditionnelle, c'est une probabilité calculée dans un univers réduit, celui de l'événement qu'on suppose déjà réalisé.
La notation officielle
On note cette probabilité P(A sachant B), ou encore PB(A) (on lit « P indice B de A »). Dans notre exemple, si A = « la boule porte le numéro 1 » et B = « la boule est rouge », alors :
P(A sachant B) = PB(A) = 1/5
Attention : P(A sachant B) et P(B sachant A) sont deux choses différentes. Ici, P(B sachant A) serait la probabilité que la boule soit rouge sachant qu'elle porte le numéro 1 : parmi les 2 boules numéro 1, une seule est rouge, donc P(B sachant A) = 1/2. Ce n'est pas la même valeur !
La formule à connaître par cœur
Pour deux événements A et B avec P(B) ≠ 0 :
P(A sachant B) = P(A et B) / P(B)
Autrement dit, on divise la probabilité que les deux événements se produisent par la probabilité de l'événement conditionnant. Cette formule est au programme de Première et Terminale, et elle est la clé de voûte de tout le chapitre.
On peut aussi l'écrire sous forme « produit » :
P(A et B) = P(B) × P(A sachant B)
C'est cette version qu'on utilise le plus souvent dans les arbres pondérés.
La méthode pas à pas : l'arbre pondéré
L'arbre pondéré est ton meilleur ami en probabilités conditionnelles. Il permet de visualiser l'enchaînement des événements et d'éviter les erreurs de raisonnement. Voici comment le construire proprement.
Étape 1 : identifier les événements et leurs contraires
Pour chaque étape de l'expérience, tu as un événement et son contraire. Par exemple, si on tire une carte : « c'est un roi » et « ce n'est pas un roi ». Note bien les deux branches à chaque nœud.
Étape 2 : placer les probabilités sur les branches
Sur chaque branche partant d'un nœud, tu écris la probabilité conditionnelle correspondante. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours valoir 1. C'est un excellent moyen de vérifier ton arbre.
Étape 3 : multiplier le long des chemins
Pour obtenir la probabilité d'un chemin complet (par exemple A puis B), tu multiplies les probabilités rencontrées le long de ce chemin. C'est la formule P(A et B) = P(A) × P(B sachant A).
Étape 4 : additionner les chemins compatibles
Si plusieurs chemins mènent au même événement final, tu additionnes leurs probabilités. C'est la formule des probabilités totales.
Tu veux t'entraîner sur des arbres pondérés ? Va voir nos exercices corrigés pour progresser.
Exemple entièrement corrigé
Passons à un exemple complet pour bien fixer les idées.
Énoncé : Une usine fabrique des pièces avec deux machines. La machine A produit 60 % des pièces, la machine B produit 40 %. On sait que 5 % des pièces produites par A sont défectueuses, et 3 % de celles produites par B sont défectueuses. On prend une pièce au hasard.
On note A = « la pièce vient de la machine A », B = « la pièce vient de la machine B », D = « la pièce est défectueuse ».
Question 1 : Quelle est la probabilité que la pièce soit défectueuse et vienne de A ?
On cherche P(A et D). D'après la formule : P(A et D) = P(A) × P(D sachant A) = 0,60 × 0,05 = 0,03.
Question 2 : Quelle est la probabilité que la pièce soit défectueuse ?
On applique la formule des probabilités totales :
P(D) = P(A et D) + P(B et D) = 0,60 × 0,05 + 0,40 × 0,03 = 0,03 + 0,012 = 0,042.
Question 3 : Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ?
On cherche P(A sachant D). On applique la formule :
P(A sachant D) = P(A et D) / P(D) = 0,03 / 0,042 ≈ 0,714.
Interprétation : parmi les pièces défectueuses, environ 71,4 % viennent de la machine A. Ce résultat est logique puisque A produit plus de pièces et a un taux de défaut plus élevé.
Tu veux d'autres exemples de ce type ? Consulte nos fiches mémo pour réviser les formules essentielles.
Les pièges classiques à éviter
Confondre P(A sachant B) et P(B sachant A)
C'est l'erreur la plus fréquente. Dans l'exemple précédent, P(A sachant D) ≈ 0,714, mais P(D sachant A) = 0,05. Ces deux valeurs n'ont rien à voir. Pour éviter cette confusion, demande-toi toujours : « quel événement est supposé réalisé ? » C'est lui qui va au dénominateur.
Confondre incompatibles et indépendants
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps : P(A et B) = 0. Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : P(A sachant B) = P(A), ce qui équivaut à P(A et B) = P(A) × P(B). Ce sont deux notions totalement différentes ! Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.
Oublier de vérifier l'équiprobabilité
Avant d'appliquer P(A) = cas favorables / cas possibles, assure-toi que toutes les issues sont équiprobables. Avec un dé équilibré, oui. Avec une roue de loterie mal calibrée, non !
Confondre tirage avec et sans remise
Si tu tires une boule d'une urne et que tu la remets, les probabilités restent les mêmes au tirage suivant. Si tu ne la remets pas, l'univers change et les probabilités aussi. C'est une source classique d'erreurs dans les exercices.
Conseils de méthode pour réussir
- Fais toujours un arbre pondéré au brouillon, même si l'énoncé ne le demande pas. Cela clarifie énormément les choses.
- Vérifie que la somme des branches vaut 1 à chaque nœud. Si ce n'est pas le cas, tu as fait une erreur.
- Écris les événements et leurs contraires avant de commencer les calculs. Note par exemple A et A-barre (le contraire de A).
- Relis la question : cherche-t-on P(A et B), P(A ou B), ou P(A sachant B) ? Ce sont trois calculs différents.
- Utilise les formules : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B), et P(contraire de A) = 1 − P(A).
- Entraîne-toi régulièrement sur des exercices variés (dés, cartes, urnes, arbres de probabilités).
Pour approfondir les notions de probabilités conditionnelles et d'indépendance, consulte notre page ressources lycée. Et si tu prépares le bac, jette un œil aux fiches de révision sur AlloBac. Pour les collégiens qui veulent consolider les bases, AlloBrevet propose des exercices adaptés.
Conclusion
La probabilité conditionnelle, ce n'est pas sorcier : c'est simplement une probabilité calculée dans un univers réduit. Retiens la formule P(A sachant B) = P(A et B) / P(B), entraîne-toi à construire des arbres pondérés, et fais attention aux pièges classiques. Avec un peu de pratique, tu verras que ces exercices deviennent presque mécaniques. Alors, à tes calculs, et n'oublie pas : chaque erreur est une occasion d'apprendre !