Événement contraire : la méthode complète en probabilités

Tu as déjà calculé une probabilité en comptant les cas favorables, et là, patatras : il y a beaucoup trop de cas à dénombrer. Bonne nouvelle : dans de très nombreuses situations, il est bien plus rapide de calculer la probabilité de l'événement contraire, puis d'utiliser la formule magique P(contraire de A) = 1 − P(A). Dans cet article, on t'explique pas à pas ce qu'est un événement contraire, comment le repérer, comment l'utiliser sur un arbre pondéré, et on corrige ensemble plusieurs exemples concrets (dés, cartes, urnes, QCM). À la fin, tu sauras quand il faut absolument passer par le contraire pour gagner du temps.

Qu'est-ce que l'événement contraire ?

Quand tu réalises une expérience aléatoire, tu définis un univers : c'est l'ensemble de toutes les issues possibles. Par exemple, si tu lances un dé à six faces, l'univers est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Un événement A est un sous-ensemble de cet univers : par exemple A = « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}.

L'événement contraire de A, souvent noté Ā (lire « A barre ») ou A^c, est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Autrement dit, c'est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans A. Dans notre exemple : Ā = « obtenir un nombre impair » = {1 ; 3 ; 5}.

Deux propriétés fondamentales à retenir :

• A et Ā sont incompatibles : ils ne peuvent jamais se produire en même temps. Mathématiquement, P(A et Ā) = 0.
• A et Ā sont exhaustifs : l'un des deux se produira forcément. Donc P(A) + P(Ā) = 1.

De cette deuxième propriété découle LA formule clé du chapitre :

P(Ā) = 1 − P(A)

Cette formule s'appelle aussi « probabilité du complémentaire ». Elle est valable pour tout événement A, dans tout univers fini, sans aucune hypothèse supplémentaire. C'est l'une des seules formules du programme que tu peux utiliser les yeux fermés.

Attention à ne pas confondre avec d'autres notions

Beaucoup d'élèves mélangent l'événement contraire avec d'autres notions voisines. Fais le point :

• Événement contraire ≠ événement impossible. L'événement impossible a une probabilité nulle (par exemple « obtenir 7 avec un dé à 6 faces »). L'événement contraire de A a une probabilité 1 − P(A), qui n'est nulle que si P(A) = 1.
• Événement contraire ≠ événement « différent ». Si A = « obtenir un 3 », Ā = « ne pas obtenir 3 », c'est-à-dire {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6}. Ce n'est pas « obtenir un autre nombre précis », c'est « obtenir tout sauf 3 ».
• Ne pas confondre P(Ā) et 1 − P(A) quand on est dans un cas d'équiprobabilité. Bonne nouvelle : la formule P(Ā) = 1 − P(A) marche TOUJOURS, même sans équiprobabilité. Pas besoin de vérifier que les issues sont équiprobables pour l'appliquer.

Méthode pas à pas pour utiliser l'événement contraire

Voici la démarche à suivre, valable du collège au lycée. On te donne les étapes dans l'ordre.

Étape 1 : identifier clairement l'événement A

Écris en français ce que tu cherches à calculer. Par exemple : « A : obtenir au moins un 6 en lançant trois dés ». Sois précis : « au moins un », « au plus un », « aucun », « exactement deux »… Ces mots-clés sont des indices précieux.

Étape 2 : écrire l'événement contraire Ā en français

C'est l'étape la plus importante. Pour trouver Ā, demande-toi : « qu'est-ce qui se passe si A ne se produit pas ? ». Transforme les expressions :

• « au moins un » devient « aucun ».
• « au plus un » devient « au moins deux ».
• « aucun » devient « au moins un ».
• « exactement deux » devient « zéro, un, ou trois » (et plus si l'univers est plus grand).

Étape 3 : calculer P(Ā) directement

En général, Ā est beaucoup plus simple à calculer que A. C'est tout l'intérêt de la méthode. Par exemple, « aucun 6 en lançant trois dés » se calcule facilement avec un arbre ou une multiplication de probabilités.

Étape 4 : appliquer P(A) = 1 − P(Ā)

Il ne reste plus qu'à soustraire. Vérifie que ton résultat est bien entre 0 et 1 : c'est un bon réflexe de contrôle.

Étape 5 : vérifier la cohérence

Si tu trouves une probabilité supérieure à 1 ou négative, il y a une erreur quelque part. Reprends ton calcul de P(Ā), puis la soustraction.

Pour t'entraîner sur cette méthode, tu peux faire les exercices de probabilités classés par niveau, et garder sous la main les fiches mémo pour les formules clés.

Exemple 1 : au moins un 6 avec trois dés (niveau collège)

On lance trois dés à six faces, équilibrés et indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?

Étape 1 — Définir A. A = « obtenir au moins un 6 sur les trois dés ».

Étape 2 — Écrire Ā. Ā = « n'obtenir aucun 6 », c'est-à-dire que les trois dés affichent une valeur parmi {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

Étape 3 — Calculer P(Ā). Pour un seul dé, la probabilité de ne pas obtenir 6 est 5/6. Les lancers sont indépendants, donc :

P(Ā) = (5/6) × (5/6) × (5/6) = 125/216 ≈ 0,579.

Étape 4 — Appliquer la formule.

P(A) = 1 − P(Ā) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,421.

Donc la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant trois dés vaut environ 0,421, soit 42,1 %. Remarque : calculer directement P(A) demanderait de compter les cas « un 6 », « deux 6 », « trois 6 », ce qui est bien plus long.

Exemple 2 : aucun as dans une main de 5 cartes (niveau lycée)

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes (4 as au total). Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as ?

Étape 1 — Définir A. A = « obtenir au moins un as dans la main ».

Étape 2 — Écrire Ā. Ā = « n'obtenir aucun as », donc la main est composée uniquement de cartes non-as. Il y a 32 − 4 = 28 cartes non-as.

Étape 3 — Calculer P(Ā). Le nombre de mains de 5 cartes parmi 32 est C(32, 5) = 201 376. Le nombre de mains de 5 cartes parmi les 28 non-as est C(28, 5) = 98 280.

P(Ā) = C(28, 5) / C(32, 5) = 98 280 / 201 376 ≈ 0,488.

Étape 4 — Appliquer la formule.

P(A) = 1 − 0,488 ≈ 0,512.

Tu as donc environ 51 % de chances d'avoir au moins un as dans ta main. Là encore, passer par le contraire évite de compter séparément les mains avec 1 as, 2 as, 3 as et 4 as.

Exemple 3 : tirage avec remise et loi binomiale (niveau Terminale)

Dans une urne, il y a 20 boules dont 3 rouges. On tire successivement 5 boules avec remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. On sait que X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 3/20 = 0,15.

On veut calculer P(X ≥ 1), c'est-à-dire la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.

L'événement contraire est {X = 0}, c'est-à-dire « n'obtenir aucune boule rouge ». On a :

P(X = 0) = (1 − 0,15)⁵ = 0,85⁵ ≈ 0,4437.

Donc :

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) ≈ 1 − 0,4437 = 0,5563.

Tu peux vérifier ce résultat avec la formule de la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^n−k. Pour k = 0, cela donne bien (1 − p)ⁿ.

Si tu veux t'entraîner sur des tirages avec ou sans remise, jette un œil aux jeux de probabilités proposés sur le site : c'est un bon moyen de visualiser les situations.

Utiliser l'événement contraire sur un arbre pondéré

Au lycée, on te demande souvent de construire un arbre pondéré. Rappel de la règle : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1. C'est exactement la traduction de P(A) + P(Ā) = 1.

Exemple : une expérience où P(A) = 0,7. Alors la branche « Ā » porte la probabilité 0,3. Sur l'arbre, tu écris 0,7 sur une branche et 0,3 sur l'autre. Cela te permet de calculer ensuite les probabilités des chemins en multipliant le long des branches.

Autre cas classique : un test médical. Soit M l'événement « la personne est malade » et T+ l'événement « le test est positif ». On te donne P(M) = 0,02, donc P(M̄) = 0,98. Tu peux alors construire l'arbre en deux niveaux : d'abord M ou M̄, puis T+ ou T− sachant M (ou sachant M̄). La formule des probabilités totales s'écrit :

P(T+) = P(M) × P(T+ | M) + P(M̄) × P(T+ | M̄).

Ici, l'événement contraire M̄ joue un rôle central : sans lui, impossible d'écrire la formule totale.

Conseils de méthode et pièges à éviter

• Repère les mots-clés. « Au moins un », « au plus un », « aucun » sont des signaux qui doivent immédiatement te faire penser à l'événement contraire.
• Ne confonds pas « au moins un » et « exactement un ». L'événement contraire de « au moins un » est « aucun ». L'événement contraire de « exactement un » est « zéro ou au moins deux ».
• Vérifie que tu es dans le bon univers. L'événement contraire dépend de l'univers choisi. Si tu changes d'univers, tu changes de contraire.
• Attention aux tirages sans remise. La probabilité du complémentaire reste valable, mais le calcul de P(Ā) doit tenir compte du fait que les tirages ne sont pas indépendants.
• Contrôle ton résultat. Une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1. Si tu trouves 1,2 ou −0,1, il y a une erreur.
• Relis l'énoncé. Beaucoup d'erreurs viennent d'une mauvaise lecture : « au moins » vs « au plus », « strictement » vs « supérieur ou égal ».

Pour réviser efficacement, tu peux consulter les fiches mémo qui résument toutes les formules du programme, et t'entraîner sur des exercices progressifs. Si tu prépares le brevet, jette un œil aux ressources de AlloBrevet ; si tu prépares le bac, AlloBac propose des fiches et annales utiles.

Conclusion

L'événement contraire est un outil puissant et souvent sous-estimé. Retiens la formule P(Ā) = 1 − P(A) : elle te fera gagner un temps précieux dès qu'un énoncé parle d'« au moins un » ou d'« aucun ». La méthode est toujours la même : identifier A, écrire Ā en français, calculer P(Ā), puis soustraire de 1. Avec un peu d'entraînement, tu repéreras ces situations en quelques secondes. Alors n'hésite pas : prends un dé, un jeu de cartes, et entraîne-toi à calculer des probabilités du complémentaire. C'est en manipulant qu'on progresse le plus vite !