Qu'est-ce qu'une partition de l'univers en probabilités ?

Une partition de l'univers est un ensemble d'événements deux à deux incompatibles (ils ne peuvent pas se produire simultanément) et dont la réunion est l'univers entier. Cela signifie que l'un de ces événements se produit forcément. Par exemple, si on lance un dé, les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » forment une partition.

Quelle est la différence entre probabilité conditionnelle et probabilité totale ?

La probabilité conditionnelle P(B | A) est la probabilité que B se produise sachant que A est réalisé. La formule des probabilités totales permet de calculer P(B) en utilisant les probabilités conditionnelles P(B | Aᵢ) et les probabilités P(Aᵢ) des événements d'une partition. En résumé, la probabilité totale combine plusieurs probabilités conditionnelles pour obtenir une probabilité globale.

Comment construire un arbre pondéré pour les probabilités totales ?

Pour construire un arbre pondéré, commence par les branches principales représentant les événements d'une partition (A₁, A₂, …) avec leurs probabilités. Ensuite, depuis chaque branche, ajoute des sous-branches pour l'événement B et son contraire, en indiquant les probabilités conditionnelles. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités le long du chemin. Enfin, additionne les probabilités des chemins qui aboutissent à B.

Peut-on utiliser la formule des probabilités totales avec plus de deux événements ?

Oui, la formule s'applique avec n'importe quel nombre d'événements formant une partition. Par exemple, si A₁, A₂ et A₃ forment une partition, alors P(B) = P(A₁) × P(B | A₁) + P(A₂) × P(B | A₂) + P(A₃) × P(B | A₃). Il suffit que les événements soient incompatibles deux à deux et que leur union soit l'univers.

Quelle est l'erreur la plus fréquente avec la formule des probabilités totales ?

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de vérifier que les événements forment bien une partition, ou de confondre P(B | A) et P(A | B). Une autre erreur est d'additionner les probabilités conditionnelles sans les multiplier par les probabilités des événements de la partition. Pense toujours à multiplier le long des branches et à additionner les chemins.

La formule des probabilités totales est-elle au programme du bac ?

Oui, la formule des probabilités totales fait partie du programme de spécialité mathématiques en Terminale. Elle est également utilisée en Première pour introduire les probabilités conditionnelles. C'est une notion clé pour l'épreuve du baccalauréat.

Formule des probabilités totales : cours et méthode

Tu as déjà calculé des probabilités simples : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, retourner une carte. Mais que se passe-t-il quand l'expérience se déroule en plusieurs étapes, ou quand plusieurs scénarios peuvent mener au même résultat ? C'est exactement là que la formule des probabilités totales entre en jeu. Elle te permet de calculer la probabilité d'un événement en le découpant selon plusieurs cas possibles. Dans cet article, on va comprendre pourquoi cette formule fonctionne, comment l'utiliser avec un arbre pondéré, et on corrigera un exemple complet ensemble. Prêt ? C'est parti !

À quoi sert la formule des probabilités totales ?

Imagine une urne contenant des boules rouges et bleues, mais aussi des boules de deux tailles différentes. Tu tires une boule au hasard. Tu veux la probabilité qu'elle soit rouge. Facile si tu connais la composition exacte. Mais imagine maintenant que le tirage dépende d'une première étape : par exemple, on choisit d'abord une urne parmi deux, puis on tire une boule dans l'urne choisie. La probabilité de tirer une boule rouge dépend alors de l'urne choisie. Comment combiner ces informations ?

La formule des probabilités totales répond à cette question : elle permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant selon plusieurs événements A₁, A₂, …, Aₙ qui forment une partition de l'univers. Une partition, c'est un ensemble d'événements qui sont deux à deux incompatibles (ils ne peuvent pas se produire en même temps) et dont la réunion est l'univers entier (l'un d'eux se produit forcément).

Autrement dit, si tu sais que l'événement B ne peut se produire que dans les cas A₁, A₂, …, Aₙ, et que ces cas couvrent toutes les possibilités, alors :

P(B) = P(B ∩ A₁) + P(B ∩ A₂) + … + P(B ∩ Aₙ)

Et comme P(B ∩ Aᵢ) = P(Aᵢ) × P(B | Aᵢ) (probabilité conditionnelle), on obtient la formule développée :

P(B) = P(A₁) × P(B | A₁) + P(A₂) × P(B | A₂) + … + P(Aₙ) × P(B | Aₙ)

Cette formule est au programme de Terminale (spécialité mathématiques) mais aussi utilisée dès la Première pour les probabilités conditionnelles. Elle est indispensable pour les arbres pondérés et les exercices de tirage en plusieurs étapes.

Comment appliquer la formule : méthode pas à pas

Pour utiliser la formule des probabilités totales sans te tromper, suis ces étapes simples.

Étape 1 : Identifie l'événement dont tu veux la probabilité

Appelons-le B. Par exemple : « tirer une boule rouge ».

Étape 2 : Trouve une partition de l'univers adaptée

Cherche des événements A₁, A₂, … qui couvrent tous les cas possibles et qui ne se chevauchent pas. Souvent, cela correspond à la première étape de l'expérience. Par exemple : « choisir l'urne 1 » et « choisir l'urne 2 ».

Étape 3 : Construis un arbre pondéré

L'arbre pondéré est l'outil visuel idéal. Chaque branche partant de la racine représente un événement Aᵢ avec sa probabilité P(Aᵢ). Ensuite, depuis chaque Aᵢ, tu fais partir des branches vers B et vers son contraire, avec les probabilités conditionnelles P(B | Aᵢ) et P(contraire de B | Aᵢ).

Étape 4 : Calcule les probabilités des chemins

Pour chaque chemin menant à B, multiplie les probabilités le long du chemin. Par exemple, le chemin passant par A₁ puis B a pour probabilité P(A₁) × P(B | A₁).

Étape 5 : Additionne les probabilités des chemins

La probabilité totale P(B) est la somme des probabilités de tous les chemins qui aboutissent à B. C'est exactement la formule des probabilités totales.

Retiens bien : multiplication le long des branches, addition entre les branches.

Exemple concret entièrement corrigé

Prenons un exercice typique de lycée.

Énoncé : Une usine possède deux machines M₁ et M₂ qui produisent des pièces. La machine M₁ produit 60 % des pièces, la machine M₂ produit 40 %. On sait que 2 % des pièces produites par M₁ sont défectueuses, et 5 % des pièces produites par M₂ sont défectueuses. On prend une pièce au hasard dans la production totale. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Solution :

On note D l'événement « la pièce est défectueuse ». Les événements M₁ et M₂ forment une partition de l'univers (toute pièce vient soit de M₁, soit de M₂). D'après la formule des probabilités totales :

P(D) = P(M₁) × P(D | M₁) + P(M₂) × P(D | M₂)

On a : P(M₁) = 0,6 ; P(M₂) = 0,4 ; P(D | M₁) = 0,02 ; P(D | M₂) = 0,05.

Donc : P(D) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.

La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de 0,032, soit 3,2 %.

Vérifions avec un arbre pondéré :

Branche M₁ (0,6) puis D (0,02) → 0,6 × 0,02 = 0,012
Branche M₂ (0,4) puis D (0,05) → 0,4 × 0,05 = 0,020
Total : 0,012 + 0,020 = 0,032

On peut aussi calculer la probabilité que la pièce ne soit pas défectueuse : P(non D) = 1 − 0,032 = 0,968. Ou avec la formule : 0,6 × 0,98 + 0,4 × 0,95 = 0,588 + 0,380 = 0,968. Tout est cohérent !

Arbre pondéré ou tableau : que choisir ?

Pour les probabilités totales, l'arbre pondéré est souvent le plus pratique, surtout quand il y a plusieurs étapes. Mais un tableau à double entrée peut aussi être utile si tu as des effectifs plutôt que des probabilités. L'essentiel est de bien visualiser la partition de l'univers.

Attention à ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants. Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps (leur intersection est vide). Ils sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Dans la formule des probabilités totales, on utilise des événements incompatibles pour former une partition, pas des événements indépendants.

Conseils de méthode et révision

Pour maîtriser la formule des probabilités totales, voici quelques conseils :

Vérifie toujours que les événements forment une partition : ils doivent être incompatibles deux à deux et leur union doit être l'univers entier.
Écris les probabilités conditionnelles correctement : P(B | A) se lit « probabilité de B sachant A ». Ne confonds pas avec P(A | B).
Utilise un arbre pondéré : c'est un support visuel qui évite les erreurs d'addition et de multiplication.
Contrôle ta réponse : une probabilité doit être entre 0 et 1. Si tu trouves plus de 1, il y a une erreur.
Entraîne-toi avec des exercices variés : urnes, dés, cartes, contrôles qualité, etc.

Pour aller plus loin, tu peux consulter nos fiches mémo et nos exercices corrigés. Si tu es au lycée, jette un œil à la section lycée pour des cours plus approfondis.

Et pour préparer le bac ou le brevet, n'hésite pas à visiter AlloBac ou AlloBrevet.

Conclusion

La formule des probabilités totales est un outil puissant pour calculer la probabilité d'un événement en le décomposant selon plusieurs cas. Avec un arbre pondéré et un peu de méthode, elle devient très accessible. N'oublie pas : multiplication le long des branches, addition entre les branches. Entraîne-toi régulièrement, et tu verras que ces calculs deviennent vite automatiques. Bon courage et bonne révision !