Tu lances un dé à 6 faces. Tu te demandes : « Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 ou un 5 ? » Réponse rapide : ces deux résultats ne peuvent pas tomber en même temps. On dit qu'ils sont incompatibles. Cette notion est partout au collège et au lycée : elle simplifie énormément les calculs de probabilités. Dans cet article, on va comprendre ce que sont les événements incompatibles (aussi appelés événements disjoints), comment les repérer, et comment calculer leur probabilité sans se tromper. Prêt ? C'est parti ! 🎲
Qu'est-ce que deux événements incompatibles ?
Commençons par une définition précise, valable du collège au lycée.
Définition : deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, leur intersection est vide : A ∩ B = ∅.
Traduit en langage courant : si A se produit, alors B ne peut pas se produire, et inversement. Il n'y a aucune issue de l'expérience qui appartienne à la fois à A et à B.
Un exemple simple avec un dé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}
- B = « obtenir un 3 » = {3}
Aucune issue n'est commune à A et B : A ∩ B = ∅. Donc A et B sont incompatibles. Si tu obtiens un 3, tu n'as pas obtenu un nombre pair. C'est aussi simple que ça.
Attention à ne pas confondre avec « indépendants »
Au lycée, on rencontre aussi la notion d'événements indépendants. Ce n'est pas la même chose ! Deux événements sont indépendants quand P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Ils peuvent très bien être compatibles (avoir une intersection non vide). Inversement, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants (sauf cas dégénéré où l'un a une probabilité nulle). Retiens bien : incompatible = ne peut pas arriver en même temps, indépendant = la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre.
La formule clé : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Voici pourquoi cette notion est si utile. Dans le cas général, la probabilité de « A ou B » (c'est-à-dire A ∪ B) est :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
C'est la formule de l'union, valable tout le temps. Mais si A et B sont incompatibles, alors P(A ∩ B) = 0, et la formule se simplifie énormément :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
On dit que les probabilités s'additionnent. C'est le cas idéal pour les calculs !
Pourquoi P(A ∩ B) = 0 quand A et B sont incompatibles ?
Parce que A ∩ B = ∅ : l'ensemble vide ne contient aucune issue. Or une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, et celle de l'ensemble vide vaut 0. C'est cohérent : un événement impossible a une probabilité nulle.
Cas de plusieurs événements incompatibles deux à deux
Si A, B et C sont deux à deux incompatibles (A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅), alors :
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
Et ainsi de suite pour autant d'événements que tu veux. C'est ce qu'on appelle l'additivité des probabilités pour des événements incompatibles.
Méthode étape par étape pour reconnaître et calculer
Voici une méthode claire que tu peux appliquer à tous les exercices.
Étape 1 : écris l'univers et les événements
Note toutes les issues possibles (l'univers Ω). Puis écris les événements A et B sous forme d'ensembles d'issues.
Étape 2 : cherche l'intersection
Demande-toi : « Y a-t-il une issue qui appartient à la fois à A et à B ? » Si la réponse est non, A et B sont incompatibles. Si la réponse est oui, ils sont compatibles.
Étape 3 : applique la bonne formule
- Si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Sinon : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Étape 4 : vérifie que le résultat est cohérent
Une probabilité doit toujours être entre 0 et 1. Si tu trouves 1,2, il y a une erreur quelque part !
Exemple concret entièrement corrigé
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (16 rouges et 16 noires, avec 4 rois, 4 dames, 4 valets, 4 as, etc.).
Soit A = « tirer un roi » et B = « tirer une carte rouge ».
Question : A et B sont-ils incompatibles ? Calcule P(A ∪ B).
Correction détaillée
D'abord, P(A) = 4/32 = 1/8 (il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes).
Ensuite, P(B) = 16/32 = 1/2 (la moitié des cartes sont rouges).
Y a-t-il des cartes qui sont à la fois un roi et rouges ? Oui ! Le roi de cœur et le roi de carreau sont rouges. Donc A ∩ B n'est pas vide : A et B ne sont pas incompatibles.
On a P(A ∩ B) = 2/32 = 1/16.
Donc P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 4/32 + 16/32 − 2/32 = 18/32 = 9/16 ≈ 0,5625.
Vérification : 9/16 est bien entre 0 et 1. ✅
Variante : avec des événements incompatibles
Soit C = « tirer un roi » et D = « tirer une dame ». Un roi et une dame ne peuvent pas être la même carte : C ∩ D = ∅. Ils sont incompatibles.
P(C) = 4/32, P(D) = 4/32. Donc P(C ∪ D) = 4/32 + 4/32 = 8/32 = 1/4.
Simple, non ?
Arbre pondéré et événements incompatibles
Au lycée, tu utilises souvent un arbre pondéré pour représenter une expérience aléatoire. Sur chaque branche, tu écris la probabilité conditionnelle. Les événements incompatibles apparaissent naturellement quand tu considères des branches différentes issues du même nœud : elles sont incompatibles entre elles.
Par exemple, si tu lances une pièce deux fois, les issues (Pile, Pile) et (Pile, Face) sont incompatibles. La somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même nœud vaut toujours 1 (propriété fondamentale des arbres pondérés).
Pour t'entraîner à construire des arbres pondérés, va voir les exercices de probabilités disponibles sur le site.
Conseils de méthode et révision
- Vérifie toujours l'intersection. Avant d'additionner, demande-toi si les événements peuvent se produire en même temps.
- Utilise un tableau à double entrée pour visualiser les intersections quand il y a deux critères (par exemple : couleur × figure).
- Relis l'énoncé : les mots « ou », « et », « sachant que » changent tout.
- Entraîne-toi avec des fiches mémo pour retenir les formules : fiches mémo probabilités.
- Joue avec des probabilités pour ancrer les notions : jeux de probabilités.
Si tu prépares le brevet, n'hésite pas à consulter AlloBrevet pour des révisions complètes. Et si tu vises le bac, AlloBac t'accompagne dans toutes les matières.
Conclusion : les événements incompatibles, tes alliés
Les événements incompatibles simplifient la vie : leur intersection est vide, donc leurs probabilités s'additionnent directement. Repère-les bien, vérifie toujours l'intersection, et applique la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) sans crainte. Avec un peu de pratique, ça deviendra un réflexe. Allez, à toi de jouer : prends un dé, une pièce, un jeu de cartes, et invente-toi des événements incompatibles. Tu verras, les probabilités, c'est logique et amusant ! 🎲