Quelle est la différence entre événement certain et événement impossible ?

Un événement certain se réalise toujours : sa probabilité vaut 1. Un événement impossible ne se réalise jamais : sa probabilité vaut 0. Par exemple, avec un dé à six faces, « obtenir un nombre entre 1 et 6 » est certain, tandis que « obtenir un 7 » est impossible.

Qu'est-ce que l'événement contraire et comment le calculer ?

L'événement contraire de A, noté non A, se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Sa probabilité est P(non A) = 1 − P(A). C'est très utile pour les événements du type « au moins un ».

Quelle est la différence entre événements incompatibles et événements indépendants ?

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps (A ∩ B = ∅), alors qu'ils sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. Ce sont deux notions différentes : des événements incompatibles ne sont pas forcément indépendants.

Comment utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité ?

On dessine une branche par issue à chaque étape, on note les probabilités sur les branches, puis on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une séquence. Si plusieurs chemins mènent au même événement, on additionne leurs probabilités.

Événement probabilité : tout savoir (collège & lycée)

Q: Qu'est-ce qu'un événement en probabilité ?

Un événement est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire une condition qui peut être réalisée ou non par le résultat d'une expérience aléatoire. Par exemple, avec un dé, l'événement « obtenir un nombre pair » correspond à l'ensemble {2 ; 4 ; 6}.

Q: Comment calculer la probabilité d'un événement ?

Sous l'hypothèse d'équiprobabilité, on utilise la formule P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Il faut d'abord vérifier que toutes les issues ont la même chance de se produire.

Quand tu lances un dé, que tu tires une carte ou que tu joues à la loterie, tu te poses une question simple : « quelle chance ai-je d'obtenir ce que je veux ? ». En probabilités, ce « ce que je veux » porte un nom précis : un événement. Comprendre ce qu'est un événement, c'est la clé pour calculer n'importe quelle probabilité, du collège à la Terminale. Dans cet article, on t'explique tout : la définition, les événements certain et impossible, la méthode pour calculer P(A), les arbres pondérés, et des exemples corrigés pas à pas.

Qu'est-ce qu'un événement en probabilité ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les issues possibles, mais dont on ne peut pas prédire le résultat avant de la réaliser. L'ensemble de toutes les issues possibles s'appelle l'univers, souvent noté Ω.

Un événement est un sous-ensemble de l'univers : c'est une condition qui peut être réalisée ou non par le résultat de l'expérience. Autrement dit, un événement regroupe une ou plusieurs issues.

Prenons un exemple simple : on lance un dé équilibré à six faces. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

L'événement A : « obtenir un nombre pair » correspond à A = {2 ; 4 ; 6}. C'est un événement qui contient 3 issues.
L'événement B : « obtenir un 5 » correspond à B = {5}. C'est un événement élémentaire (une seule issue).
L'événement C : « obtenir un nombre supérieur à 4 » correspond à C = {5 ; 6}.

Un événement peut donc contenir une issue (on dit qu'il est élémentaire), plusieurs issues, ou même aucune. Tu verras que ce dernier cas correspond à l'événement impossible.

Événement certain et événement impossible

Deux événements particuliers sont à connaître absolument :

L'événement certain est l'événement qui se réalise toujours. Il correspond à l'univers entier Ω. Sa probabilité vaut 1 : P(Ω) = 1. Exemple : « obtenir un nombre entre 1 et 6 » avec un dé à six faces.
L'événement impossible est l'événement qui ne se réalise jamais. Il correspond à l'ensemble vide ∅. Sa probabilité vaut 0 : P(∅) = 0. Exemple : « obtenir un 7 » avec un dé à six faces.

Retiens donc cette règle fondamentale : pour tout événement A, on a toujours 0 ≤ P(A) ≤ 1. Une probabilité ne peut jamais être négative ni dépasser 1.

Comment calculer la probabilité d'un événement ?

Pour calculer la probabilité d'un événement A, il faut d'abord vérifier une hypothèse : celle de l'équiprobabilité. On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues de l'univers ont la même chance de se produire. C'est le cas d'un dé équilibré, d'une pièce non truquée, ou d'une boule tirée au hasard dans une urne.

Sous cette hypothèse d'équiprobabilité, la formule est :

P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Les « cas favorables » sont les issues qui réalisent l'événement A. Les « cas possibles » sont toutes les issues de l'univers Ω.

Exemple guidé : une urne avec des boules

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard. Toutes les boules sont indiscernables au toucher, donc il y a équiprobabilité.

Nombre de cas possibles : 5 + 3 + 2 = 10 boules.
Événement R : « tirer une boule rouge ». Cas favorables : 5. Donc P(R) = 5/10 = 0,5.
Événement B : « tirer une boule bleue ». P(B) = 3/10 = 0,3.
Événement V : « tirer une boule verte ». P(V) = 2/10 = 0,2.

Vérification : 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut bien 1. C'est une propriété générale : la somme des probabilités des issues d'un univers est toujours égale à 1.

Événement contraire : un raccourci très utile

L'événement contraire de A, noté « non A » ou parfois Ā, est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Sa probabilité se calcule très simplement :

P(non A) = 1 − P(A)

Exemple : dans l'urne précédente, l'événement « ne pas tirer une boule rouge » a pour probabilité 1 − 0,5 = 0,5. C'est aussi la probabilité de tirer une boule bleue ou verte : 0,3 + 0,2 = 0,5. Cohérent !

Astuce de méthode : quand un énoncé demande « au moins un », pense souvent à passer par l'événement contraire. C'est beaucoup plus rapide.

Arbre pondéré et événements composés

Pour les expériences à plusieurs étapes (par exemple lancer deux fois un dé, ou tirer deux boules successivement), on utilise un arbre pondéré. Chaque branche porte une probabilité, et la probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long du chemin.

Voici comment construire un arbre pondéré proprement :

Dessine une première série de branches pour la première étape de l'expérience.
Indique sur chaque branche la probabilité correspondante.
À l'extrémité de chaque branche, fais repartir de nouvelles branches pour la deuxième étape.
Pour obtenir la probabilité d'un événement complet, multiplie les probabilités le long du chemin.
Pour obtenir la probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins, additionne les probabilités de ces chemins.

Attention à une distinction essentielle : un tirage avec remise (on remet l'objet tiré dans l'urne) ne donne pas les mêmes probabilités qu'un tirage sans remise (on ne remet pas l'objet). Dans le premier cas, l'univers reste identique à chaque étape ; dans le second, il change.

Exemple corrigé : deux tirages sans remise

Reprenons l'urne avec 5 rouges, 3 bleues et 2 vertes. On tire une première boule, on ne la remet pas, puis on tire une seconde boule. On veut la probabilité de l'événement A : « les deux boules tirées sont rouges ».

Étape 1 : probabilité que la première boule soit rouge. P(R1) = 5/10 = 1/2.

Étape 2 : sachant que la première était rouge, il reste 4 boules rouges sur 9 boules au total. Donc la probabilité que la seconde soit rouge sachant que la première l'était est 4/9.

On multiplie : P(A) = (5/10) × (4/9) = 20/90 = 2/9 ≈ 0,222.

Autrement dit, il y a environ 22 % de chances d'obtenir deux boules rouges dans ce tirage sans remise. Remarque bien que si on avait remis la boule, la probabilité aurait été (5/10) × (5/10) = 1/4 = 0,25. Le sans-remise donne donc une probabilité plus faible, ce qui est logique puisque le nombre de boules rouges diminue.

Événements incompatibles et événements indépendants

Deux notions sont souvent confondues, alors qu'elles sont bien différentes :

Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, A ∩ B = ∅. Dans ce cas, P(A ou B) = P(A) + P(B).
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Dans ce cas, P(A et B) = P(A) × P(B).

Ces deux propriétés ne disent pas la même chose ! Deux événements incompatibles ne sont généralement pas indépendants (sauf cas particuliers où l'un a une probabilité nulle). Par exemple, avec un dé, « obtenir un nombre pair » et « obtenir un 3 » sont incompatibles, mais pas indépendants.

Pour l'union de deux événements quelconques, la formule générale est :

P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B)

Si A et B sont incompatibles, P(A et B) = 0 et on retrouve P(A) + P(B).

Conseils de méthode pour progresser

Voici quelques réflexes à adopter pour réussir tes exercices de probabilités :

Identifie toujours l'univers et vérifie l'équiprobabilité avant d'appliquer la formule P(A) = cas favorables / cas possibles.
Nomme les événements clairement (A, B, C...) et écris ce qu'ils signifient. Cela évite les confusions.
Utilise l'événement contraire dès que l'énoncé contient « au moins un ».
Fais un arbre pondéré pour les expériences à plusieurs étapes, et précise si le tirage est avec ou sans remise.
Vérifie tes résultats : une probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1, et la somme des probabilités de tous les chemins d'un arbre doit valoir 1.

Pour t'entraîner, tu peux consulter les exercices de probabilités et les fiches mémo du site. Si tu es au collège, la section probabilités au collège est faite pour toi. Et pour préparer le brevet, n'hésite pas à visiter AlloBrevet ; pour le bac, AlloBac t'accompagne.

Conclusion : maîtrise les événements, maîtrise les probabilités

Un événement en probabilité, c'est simplement une condition que l'on teste sur le résultat d'une expérience aléatoire. Tu sais maintenant reconnaître un événement certain (probabilité 1) et un événement impossible (probabilité 0), calculer la probabilité d'un événement sous équiprobabilité, utiliser l'événement contraire, construire un arbre pondéré et distinguer événements incompatibles et indépendants. Avec ces outils, tu peux aborder sereinement n'importe quel exercice, du collège à la Terminale. Continue à t'entraîner régulièrement : les probabilités deviennent vite un jeu quand on maîtrise les événements !